Fungsi, Materi kelas VIII, Materi kelas VIII semester I, Uncategorized

Fungsi

A. Apa Pengertian Relasi?

Agar anda paham pengertian dari himpunan sekarang coba perhatikan pernyataan berikut ini. Dalam kelompok belajar yang terdiri dari enam siswa, yaitu Eka, Budi, Bayu, Ayu, Dwi, dan Satriani. Mereka memiliki hobi berolahraga. Eka suka bermain voli, Budi suka bermain sepak bola dan catur, bayu suka bermain sepak bola, ayu suka bermain bulu tangkis dan tenis meja, Dwi suka bermain sepak takraw, dan Satriani suka bermain bulu tangkis dan renang.

Perhatikan bahwa ada hubungan antara himpunan anak = {Tino Eka, Budi, Bayu, Ayu, Dwi, dan Satriani } dengan himpunan olahraga = {voli, sepak bola, catur, bulu tangkis, tenis meja, sepak takraw, renang}. Himpunan anak dengan himpunan olahraga dihubungkan oleh kata suka bermain. Dalam hal ini, kata suka bermain merupakan relasi yang menghubungkan himpunan anak dengan himpunan olahraga.

Jadi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan

B.Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan

Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan adalah dengan cara diagram panah dan dengan rumus. Untuk cara diagram panah terlalu ribet untuk diterapkan karena memerlukan waktu yang lama untuk pengerjaannya dan anda harus menggambar diagramnya satu persatu. Cara yang paling cepat adalah cara rumus karena cara ini tidak memerlukan waktu untuk pengerjaannya dan tidak perlu menggambar diagram panah satu persatu.

Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan dengan rumus sebagai berikut. Jika banyaknya anggota himpunan A adalahn(A) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalahn(B) = b maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah ba dan banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah ab.

Contoh Soal 1

Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya pemetaan yang mungkin

a. dari A ke B;

b. dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya.

Penyelesaian:

A = {2, 3}, n(A) = 2

B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5

a. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba = 52 = 25

b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab = 25 = 32

Contoh Soal 2

Jika A = {x|–2 < x < 2, x є B} dan B = {x | x bilangan prima < 8}, tentukan

a. banyaknya pemetaan dari A ke B;

b. banyaknya pemetaan dari B ke A.

Penyelesaian:

A = {x|–2 < x < 2, x є B} = {-1, 0, 1}, n(A) = 3

B = {x | x bilangan prima < 8} = {2, 3, 5, 7}, n(A) = 4

a. banyaknya pemetaan dari A ke B = ba = 43 = 64

b. banyaknya pemetaan dari B ke A = ab = 34 = 81

C.Cara menentukan rumus fungsi jika nilainya diketahui

Pada postingan sebelumnya telah dipaparkan cara menentukan nilai fungsi jika rumus fungsinya diketahui. Sekarang, akan membahas kebalikan dari kasus tersebut, yaitu jika nilai fungsinya diketahui.

Pada pembahasan ini bentuk fungsi yang kalian pelajari hanyalah fungsi linear saja, yaitu f(x) = ax + b. Untuk bentuk fungsi kuadrat dan pangkat tinggi akan kalian pelajari pada tingkat yang lebih tinggi.

Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x = ax + b, dengan a dan b konstanta dan x variabel maka rumus fungsinya adalah f(x) = ax + b. Jika nilai variabel x =m maka nilai f(m) = am + b.

Dengan demikian, kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan bditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui. AgarAnda lebih mudah memahaminya pelajarilah contoh berikut.

Contoh Soal 1.

Diketahui suatu fungsi linear f(x) = 2x + m. Tentukan bentuk fungsi

tersebut jika f(3) = 4.

Penyelesaian:

Untuk menyelesiakan soal tersebut Anda harus mencari niali m terlebih dahulu, yakni:

f(x) = 2x + m

f(3) = 2.3 + m = 4

4 = 2.3 +  m

m = 4-6

m = -2

maka,

f(x) = 2x -2

Contoh Soal 2

Jika f(x) = ax + bf(1) = 2, dan f(2) = 1

maka tentukan

a. Karena bentuk f(x) = ax + b  maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear. Dengan demikian diperoleh

f(1) = 2, maka

f(1) = a (1) + b = 2

a+ b = 2 => a = 2 – b

f(2) = 1, maka

f(2) = a (2) + b = 1

2a+ b = 1

Untuk menentukan nilai b, masukan a = 2 – b ke persamaan 2a+ b = 1. maka

2a+ b = 1

2(2 – b) + b = 1

4 – 2b + b = 1

– b = – 3

b = 3

Untuk menentukan nilai a, nilai b = 3 ke persamaan:

a = 2 – b

a = 2 – 3

a = – 1

maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = x +3

b. bentuk paling sederhana dari f(x – 1) adalah:

f(x) = x +3

f(x – 1) = (x – 1) +3

f(x – 1) = x + 1 +3

f(x – 1) = x + 4

c. bentuk paling sederhana dari f(x) + f(x – 1) adalah

f(x) + f(x – 1) = (x +3) + (x + 4)

f(x) + f(x – 1) = –2x +7

Contoh soal 3.

Diketahui f(x) = ax + b. Tentukan bentuk fungsi-fungsi berikut jika

a. f(1) = 3 dan f(2) = 5;

b. f(0) = –6 dan f(3) = –5;

c. f(2) = 3 dan f(4) = 4.

Penyelesaian:

a. Karena bentuk f(x) = ax + b  maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.

Untuk f(1) = 3, maka

f(1) = a (1) + b = 3

a+ b = 3 => a = 3 – b

Untuk f(2) = 5, maka

f(2) = a (2) + b = 5

2a+ b = 5

Untuk menentukan nilai b, masukan a = 3 – b ke persamaan 2a+ b = 5. maka

2a+ b = 5

2(3 – b) + b = 5

6 – 2b + b = 5

– b = – 1

b = 1

Untuk menentukan nilai a, nilai b = 1 ke persamaan:

a = 3 – b

a = 3 – 1

a = 2

maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = 2x + 3

b.  Karena bentuk f(x) = ax + b  maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.

Untuk f(0) = – 6, maka

f(0) = a (0) + b = – 6

b = – 6

Untuk f(3) = – 5, maka

f(3) = a (3) + b = – 5

3a+ b = – 5

Untuk menentukan nilai a, masukan b = – 6 ke persamaan 3a+ b = – 5, maka

3a -6 = -5

3a = 1

a = 1/3

maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = x/3 – 6

c. Karena bentuk f(x) = ax + b  maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.

Untuk f(2) = 3, maka

f(2) = a (2) + b = 3

2a+ b = 3 => b = 3 – 2a

Untuk f(4) = 4, maka

f(4) = a (4) + b = 4

4a+ b = 4

Untuk menentukan nilai a, masukan b = 3 – 2a ke persamaan 4a+ b = 4 maka

4a+ b = 4

4a + (3 – 2a) = 5

2a = 2

a = 1

Untuk menentukan nilai b, nilai a = 1 ke persamaan:

b = 3 –2a

b = 3 – 2a

b = 3 – 2(1)

b = 1

maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = x + 1

Contoh Soal 4

Diketahui f(x) = (x + a) + 3 dan f(2) = 7.

Tentukan

a. bentuk fungsi f(x);

b. nilai f(–1);

c. nilai f(–2) + f(–1);

d. bentuk fungsi f(2x – 5).

Penyelesaian:

a. Tentukan terlebih dahulu nilai dari a, yakni:

f(x) = (x + a) + 3

f(2) = (2 + a) + 3 = 7

a = 2

maka bentuk dari f(x) adalah f(x) = x + 5

bnilai f(–1) yakni:

f(x) = x + 5

f(–1) = –1 + 5

f(–1) = 4

c. nilai f(–2) + f(–1)yakni:

f(x) = x + 5

f(–2) + f(–1) =( – 2 + 5) + (–1 + 5)

f(–2) + f(–1) = 3 + 4

f(–2) + f(–1) = 7

d. bentuk fungsi f(2x – 5) yakni:

f(x) = x + 5

f(2x – 5) = 2x – 5 + 5

f(2x – 5) = 2x

5. Diketahui dua buah fungsi, yaitu

f(x) = 2 –ax/2 dan g(x) = 2 – (a – 3)x.

Jika f(x) = g(x), tentukan

a. nilai a;

b. bentuk fungsi f(x) dan g(x);

c. bentuk fungsi f(x) + g(x);

d. nilai f(–1), f(2), g(1), dan g(4)

Penyelesaian:

a. nilai a yakni:

f(x) = g(x)

2 – ax/2 = 2 – (a – 3)x

(4 – ax)/2 = 2 – (a – 3)x

4 – ax = 2(2 – (a – 3)x)

4 – ax = 4 – 2(a – 3)x

4 – ax = 4 – 2ax + 6x

4 – 4 – ax + 2ax = 6x

ax = 6x

a = 6x/x

a = 6

Jadi nilai a adalah 6

b. bentuk fungsi f(x) dan g(x) dengan memasukan nila a = 6 maka

f(x) = 2 –ax/2

f(x) = 2 –6x/2

f(x) = 2 –3x

g(x) = 2 – (a – 3)x.

g(x) = 2 – (6 – 3)x.

g(x) = 2 – 3x.

c. bentuk fungsi f(x) + g(x);

f(x) + g(x) = (2 – 3x) + (2 – 3x.)

f(x) + g(x) = 4 – 6x

d. nilai f(–1), f(2), g(1), dan g(4)

f(x) = 2 – 3x

f(–1) = 2 – 3(–1) = 5

f(2) = 2 – 3(2) = – 4

g(x) = 2 – 3x

g(1) =  2 – 3(1) = – 1

g(4) = 2 – 3(4) = – 10

D. Cara menghitung nilai perubahan fungsi jika nilai variabel berubah

Kalian telah mempelajari bahwa suatu fungsi f(x) mempunyai variabel x dan untuk nilai variabel x tertentu, kita dapat menghitung nilai fungsinya. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan pada nilai fungsinya.

Contoh Soal 1

Jika diketahui f(x) = 5x + 3 tentukan nilai perubahan fungsi dari f(x + 3) dan selisih antara f(x + 3)– f(x).

Penyelesaian:

f(x) = 5x + 3

f(x + 3) = 5(x + 3) + 3

f(x + 3) = 5x + 15 + 3

f(x + 3) = 5x + 18

f(x + 3) – f(x)

= (5(x + 3) + 3) – (5x + 3)

= 5x + 15 + 3 – 5x – 3

= 15

Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) adalah selisih antara f(x) dan f(x + 3) adalah 15

Contoh soal 2

Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x – 6.

a. Tentukan rumus fungsi yang paling sederhana dari f(x + 1), f(2x – 1), dan f(x2).

b. Tentukan rumus fungsi untuk f(x – a) untuk suatu bilangan asli a dan tentukan perubahan fungsi f(x + a) – f(x).

Penyelesaian:

f(x) = 2x – 6

f(x + 1) = 2(x + 1)  – 6

f(x + 1) = 2x – 4

f(2x – 1) = 2(2x – 1)  – 6

f(2x – 1) = 4x – 8

f(x2) = 2(x2)  – 6

f(x2) = 2x2  – 6

b. Rumus fungsi untuk f(x – a) untuk suatu bilangan asli a yakni

f(x) = 2x – 6

f(x – a) = 2(x – a) – 6

f(x – a) = 2x – 2a – 6

f(x – a) = 2x – (2a + 6)

f(x + a) = 2(x + a) – 6

f(x + a) = 2x + 2a – 6

Perubahan fungsi f(x + a) – f(x) adalah

f(x + a) – f(x) = 2x + 2a – 6 – (2x – 6)

f(x + a) – f(x) = 2x + 2a – 6 – 2x + 6

f(x + a) – f(x) = 2a

Contoh soal 3

Jika fungsi f dirumuskan dengan f(x) = 4x + 3, untuk x bilangan real maka tentukan rumus fungsi yang paling sederhana dari f(x – 3) dan f(x) – f(x – 3).

Penyelesaian:

f(x) = 4x + 3

f(x – 3) = 4(x – 3) + 3

f(x – 3) = 4x – 9

f(x) – f(x – 3) = (4x + 3) – (4x – 9)

f(x) – f(x – 3) = 4x + 3 – 4x + 9

f(x) – f(x – 3) = 12

Contoh soal 4

Diketahui fungsi f(x) = 2x untuk suatu x bilangan real.

a. Apakah fungsi f(–x) = –f(x)?

b. Bagaimana dengan fungsi f(x) = x2? Apakah f(–x) = –f (x)?

Penyelesaian:

a. Untuk f(- x), maka

f(x) = 2x

f(–x) = 2(–x)

f(–x) = –2x

–f(x) = – (2x)

–f(x) = – 2x

Jadi fungsi f(–x) = –f(x)

b untuk fungsi f(x) = x2, maka

f(–x) = (–x)2

f(–x) = x2

–f (x) = – x2

Jadi, fungsi f(–x) ≠ –f (x)

Contoh Soal 5

Jika f(x) = x + 1 untuk x bilangan ganjil, apakah fungsi f(–(x + 2)) = f(–x –2)?

Penyelesaian:

f(x) = x + 1

f(–(x + 2)) = –(x + 2) + 1

f(–(x + 2)) = –x – 2 + 1

f(–(x + 2)) = –x – 1

f(–x –2) = –x –2 + 1

f(–x –2) = –x –1

Jadi, fungsi f(–(x + 2)) = f(–x –2)

Contoh Soal 6

Jika f(x) = 4x – 5 untuk x bilangan real maka tentukan nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = f(2x + 1).

Penyelesaian:

f(x) = 4x – 5

f(2x + 1) = 4(2x + 1) – 5

f(2x + 1) = 8x + 4 – 5

f(2x + 1) = 8x – 1

Jika f(x) = f(2x + 1) maka

f(x) = f(2x + 1)

4x – 5 = 8x – 1

4x – 8x = – 1 + 5

– 4x = 4

x = – 1

Jadi untuk f(x) = f(2x + 1) maka nilai x adalah – 1

E. Cara mencari korespondensi satu – satu himpunan

Mungkinkah satu rumah memiliki dua nomor rumah? Atau mungkinkah dua rumah memiliki nomor rumah yang sama? Tentu saja jawabannya tidak. Keadaan sebuah rumah memiliki satu nomor rumah atau satu nomor rumah dimiliki oleh sebuah rumah dikatakan sebagai korespondensi satu-satu.

Jadi, Korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakan anggota dari himpunan A dan B, dimana semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. Jadi, banyak anggota himpunan A dan B harus sama atau n(A) = n(B).

Jika n(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1. n! dibaca : n faktorial.

Contoh Soal

Berapa banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan K = {huruf vokal} dan L = {bilangan cacah antara 0 dan 6}?

Peneyelesaian:

K = {huruf vokal} ={a, i, u, e, o}

L = {bilangan cacah antara 0 dan 6} = {1, 2, 3, 4, 5}

n(K) = n(L) = 5 maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan K dan L adalah

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 buah

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s