Garis singgung lingkaran, Materi kelas VIII, Materi kelas VIII semester II, Uncategorized

Garis Singgung Lingkaran

A. Pengertian garis singgung lingkaran

Untuk memahami pengertian garis singgung lingkaran, perhatikan Gambar di atas. Lingkaran pusat di O dengan diameter AB tegak lurus dengan diameter CD (garis k). Jika garis k digeser ke kanan sedikit demi sedikit sejajar k maka
  • pada posisi k1 memotong lingkaran di dua titik (titik E dan F) dengan k1 ⊥ OB.
  • pada posisi k2 memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H) dengan k2 ⊥ OB.
  • pada posisi k3 memotong lingkaran di satu titik, yaitu titik B (menyinggung lingkaran di satu titik). Selanjutnya, garis k3 disebut garis singgung lingkaran.

 

Sekarang perhatikan Gambar di atas. Jika garis k diputar dengan pusat perputaran titik A ke arah busur AB’ yang lebih kecil dari busur AB maka kitaperoleh ΔOAB’ sama kaki. (Mengapa?)

∠OAB = ∠OB’A = ½ x (∠180 – AOB’)

Jika kita terus memutar garis k ke arah busur yang lebih kecil dan lebih kecil lagi maka ∠OAB’ = ∠OB’A akan makin besar dan ∠AOB’ makin kecil. Pada suatu saat garis k akan menyinggung lingkaran di titik A dengan titik B’ berimpit dengan titik A dan saat itu berlaku

∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° – ∠AOB’)

∠OAB’ =∠OB’A = ½ (180° – 0°)

∠OAB’ =∠OB’A = 90°

Hal ini menunjukkan bahwa jari-jari OA tegak lurus dengan garis singgung k di titik A.

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.

 

Perhatikan Gambar di atas. Pada Gambar di atas tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis k adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran.

Karena garis k ⊥  OA, hal ini berarti sudut yang dibentuk kedua garis tersebut besarnya 90°. Dengan demikian secara umum dapat dikatakan bahwa setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90°.

 

Gambar di atas merupakan lingkaran yang berpusat di O. Lingkaran tersebut bersinggungan dengan garis g dan h. Garis g memotong lingkaran di satu titik, yaitu di titik A. Sedangkan garis h memotong lingkaran di satu titik, yaitu di titik B. Garis g dan h inilah yang dinamakan garis singgung. Sedangkan titik B dan titik A dinamakan titik singgung. Jadi yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Coba jelaskan mengapa garis l bukan termasuk garis singgung lingkaran?
Perhatikan kembali gambar di atas. Garis g dan garis h tegak lurus OB dan OA, sedangkan OB dan OA adalah jari-jari lingkaran. Jadi, garis singgung lingkaran akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya. Dapatkah kita membuat garis singgung lainnya di titik A dan di titik B? Ternyata, bagaimanapun caranya, kita tidak akan bisa membuat garis singgung yang lain di titik A dan di titik B. Dengan demikian, kita hanya dapat membuat satu garis singgung lingkaran dari satu titik pada sebuah lingkaran.
Perhatikan gambar di bawah ini!

 

Garis c, e, dan f adalah garis singgung lingkaran karena memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari melalui titik singgungnya.
Garis a, b, d, g, dan h bukan garis singgung lingkaran karena jika garisnya di perpanjang, akan memotong lingkaran di dua titik.
B. Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran iluardari Satu Titik di luar Lingkaran

Untuk dapat menentukan panjang garis singgung lingkaran, Anda harus menguasai teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.


Pada gambar di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB ⊥ garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Dengan teorema Pythagoras berlaku

OB2 = AB2 + OA2

AB2 = OB2 – OA2

AB2 = √(OB2 – OA2)

Jadi, panjang garis singgung lingkaran (AB) = √(OA2 – OB2)

Contoh Soal

Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB = 5 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm maka

  1. gambarlah sketsanya;
  2. tentukan panjang garis singgung AB.

Penyelesaian:

  1. Sketsa
  1. AB= √(OA2 – OB2)

AB= √(132 – 52)

AB= √(169 – 25)

AB= √144

AB= 12 cm

Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

 

C. Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran Bentuk Layang-Layang

Perhatikan gambar di bawah.

Pada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan demikian ∠OAP = ∠OBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur.

 

Perhatikan ΔOAB. Pada Δ OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga Δ OAB adalah segitiga sama kaki. Sekarang, perhatikan Δ ABP. Pada Δ ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga Δ ABP adalah segitiga sama kaki. Dengan demikian, segi empat OAPB terbentuk dari segitiga sama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB yang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat OAPB merupakan layang-layang. Karena sisi layanglayang OAPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat OAPB disebut layang-layang garis singgung.

  1. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layanglayang.
  2. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.

 

Contoh Soal

Perhatikan gambar di bawah ini.

 

Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA = 9 cm dan OP = 15 cm, hitunglah

  1. panjang AP;
  2. luas Δ OAP;
  3. luas layang-layang OAPB;
  4. panjang tali busur AB.

Penyelesaian:

Perhatikan Δ OAP.

  1. Δ OAP siku-siku di titik A, sehingga

AP = √(OP2 – OA2)

AP = √(152 – 92)

AP = √(225 – 81)

AP = √144

AP = 12 cm

  1. Luas Δ OAP = ½ x OA x AP

Luas Δ OAP = ½ x 9 x 12

Luas Δ OAP = 54 cm

  1. Luas layang-layang OAPB = 2 x luas ΔOAP

Luas layang-layang OAPB = 2 x 54 cm

Luas layang-layang OAPB = 108 cm

  1. Luas layang-layang OAPB = ½ x OP x AB

108 cm = ½ x 15 x AB

AB = 108 x 2/15

AB = 14,4 cm

D. Kedudukan Dua Lingkaran

Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut.

  1. L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat).
  2. L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris.
  3. L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam.
  4. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R.
  5. L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r.
  6. L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.
  7. L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.

Pada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Apakah untuk setiap dua lingkaran selalu dapat dibuat garis singgung persekutuan? Perhatikan kemungkinan berikut.

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan.

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.

Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan.Pada Gambar di bawah ini, kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.

D. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, Anda harus paham dengan teorema Pythagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Pada Gambar di atas, dua buah lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, berjari-jari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh:

1) jari-jari lingkaran P = R;

2) jari-jari lingkaran Q = r;

3) garis singgung persekutuan dalam = AB = d;

4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p.

Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ sejajar AB, sehingga ∠PSQ = ∠PAB = 90° (sehadap).

Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°. Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r. Perhatikan bahwa ∠PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:

QS2 = PQ2 – PS2

QS = √(PQ2 – PS2)

QS = √(PQ2 – (R + r)2)

Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

Contoh Soal

Pada gambar di atas, panjang jari-jari MA = 5 cm, panjang jari-jari NB = 4 cm, dan panjang MN = 15 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

Penyelesaian:

Diketahui MA = 5 cm, NB = 4 cm, dan MN = 15 cm. Garis singgung persekutuan dalamnya adalah AB.

AB = √( MN2 – (MA + NB)2)

AB = √(152 – (5 + 4)2)

AB = √(225 – 81)

AB = √144

AB = 12 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm.

E. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

Perhatikan Gambar di bawah ini.

Dari gambar tersebut diperoleh bahwa:

1) jari-jari lingkaran P = R;

2) jari-jari lingkaran Q = r;

3) garis singgung persekutuan luar = AB = d;

4) jarak titik pusat kedua lingkaran = PQ = p.

Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis AB sejajar SQ, sehingga ∠ PSQ = ∠ PAB = 90° (sehadap).

Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan ∠PSQ = ∠PAB = 90°. ∠PQS siku-siku di S, sehingga berlaku

QS2 = PQ2 – PS2

QS = √(PQ2 – PS2)

QS = √(PQ2 – (R – r)2)

Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

Contoh Soal

Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3,5 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.

Penyelesaian:

Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 12 cm, maka d = 12. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm, maka p = 13. Panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3,5 cm, sehingga r = 3,5. Panjang jari-jari lingkaran yang lain = R, sehingga

d = √(p2 – (R – r)2)

12 = √(132 – (R – 3,5)2)

122 = 132 – (R – 3,5)2

144 = 169 – (R – 3,5)2

(R – 3,5)2 = 169 – 144

(R – 3,5)2 = 25

R – 3,5 = √25

R – 3,5 = 5

R = 5 + 3,5

R = 8,5 cm

F. Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan lingkaran

Perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Gambar di bawah ini menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masing-masing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu.

Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan Dua Lingkaran

Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut.

Penyelesaian:

Jika di gambar di atas titik pusat lingkaran dihubungkan maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan Dua Lingkaran

Dari gambar di atas, sehingga diperoleh panjang DE = FG = HI = AB = AC = BC = 2 x jari-jari = 14 cm.
Segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi, sehingga

∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60°;

∠CBF = ∠ABE = 90° (siku-siku);

∠FBE = ∠GCH = ∠DAI = 360° – (60o + 90° + 90°) = 120°
Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai hubungan panjang busur dengan sudut pusat lingkaran, bahwa:
panjang busur lingkaran = sudut pusat/360° x keliling lingkaran

panjang EF = panjang GH = panjang DI sehingga diperoleh

panjang DI = (120°/360°) x 2 x (22/7) x 7 cm

panjang DI = 1/3 x 44 cm

panjang DI = 44/3 cm
Panjang sabuk lilitan minimal = DE + FG + HI + panjang EF + panjang GH + panjang DI

Panjang sabuk lilitan minimal = (3x DE) + (3 x panjang EF)

Panjang sabuk lilitan minimal = (3x 14 cm) + (3 x 44/3 cm)

Panjang sabuk lilitan minimal = 42 cm + 44 cm

Panjang sabuk lilitan minimal = 86 cm

Bagaimana? Mudah bukan? Sekarang coba kerjakan soal latihan di bawah ini.

Soal Latihan 1
Dua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali yang panjangnya 144 cm. Jika jari-jarinya sama panjang maka tentukan panjang jari-jari kedua kayu.

Soal Latihan 2
Lima buah pipa air disusun seperti pada gambar di bawah ini.


Hitunglah panjang tali yang digunakan untuk melilitkan pipa-pipa tersebut jika jari-jari pipa 3 cm.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s