Lingkaran, Materi kelas VIII, Materi kelas VIII semester II, Uncategorized

Lingkaran

A.Pengertian Lingkaran

Ban mobil dan uang logam merupakan contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran.Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar (a).

Perhatikan Gambar (b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Pada Gambar (b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran.

Jadi dapat disimpulkan bahwa lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnyasaling bertemu membentuk keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran).

 

B.Unsur-Unsur/Bagian-Bagian Lingkaran

 

 

Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, dan apotema. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

 

a. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar di atas , titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.

 

b. Jari-Jari (r)

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.

 

c. Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya, ditulis bahwa d = 2r.

 

d. Busur

Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan busur lingkaran O.

 

e. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat pada Gambar di atas.

 

f. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD.

 

g. Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

 

h. Apotema

Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O. Agar kamu lebih memahami materi tentang pengertian dan unsur-unsur lingkaran, coba pelajari Contoh Soal berikut ini.

 

Contoh Soal Tentang Unsur-Unsur Lingkaran

1). Perhatikan gambar lingkaran berikut.

 

Dari gambar tersebut, tentukan:

a. titik pusat,

b. jari-jari,

c. diameter,

d. busur,

e. tali busur,

f. tembereng,

g. juring,

h. apotema.

 

Jawab:

a. Titik pusat = titik O

b. Jari-jari = garis PU, PQ, dan PR

c. Diameter = garis RU

d. Busur = garis lengkung QR, RS, ST, TU, dan UQ

e. Tali busur = garis ST

f. Tembereng = daerah yang dibatasi oleh busur ST dan tali busur ST

g. Juring = QPU, QPR, dan RPU

h. Apotema = garis PV

 

2). Perhatikan gambar lingkaran berikut.

Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 cm dan panjang tali busurnya 16 cm, tentukan:

a. diameter lingkaran,

b. panjang garis apotema.

 

Jawab:

a. Diamaeter merupakan dua kali jari-jari lingkaran:

Diameter (d) = 2 × jari-jari

Diameter (d) = 2 × (10 cm)

Diameter (d) = 20 cm

Jadi, diameter lingkaran tersebut adalah 20 cm.

 

b. Perhatikan segitiga OQR. Panjang OQ = 10 cm dan QR = 8 cm.

Menurut Teorema Pythagoras :

OR2 = OQ2 – QR2

OR2= (10)2 – (8)2

OR2= 1002 – 642

OR= 36 cm2

OR = √36 cm2

OR = 6 cm

Jadi, panjang garis apotema lingkaran tersebut adalah 6 cm

C.Menghitung perubahan luas dan keliling lingkaran jika jari – jari berubah

luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) =πr2 = ¼ π ddan keliling (K) = πd = 2πr. Apabila nilai r atau d kita ubah, maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan. Bagaimana besar perubahan itu?

Contoh Soal Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah
Contoh Soal 1
Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm.
Penyelesaian:
Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r1 = 2.
Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r2 = 4.
  • Selisih luas = L2 – L1
    Selisih luas = π(r2 – r1) (r2+ r1)
    Selisih luas = π(4 cm – 2 cm) (4 cm+ 2 cm)
    Selisih luas = π x 2 cm x 6 cm
    Selisih luas = 12π cm2
  • Selisih keliling = K2 – K1

    Selisih keliling = 2π(r2 – r1)Selisih keliling = 2π(4 cm- 2 cm)Selisih keliling = 2π x 2 cmSelisih keliling = 4π cm

  • Perbandingan luas = L2 : L1

    Perbandingan luas = r22 : r12Perbandingan luas = (4 cm )2 : (2 cm)2Perbandingan luas = 16 cm2 : 4 cm2

    Perbandingan luas = 4: 1
  • Perbandingan keliling = K2 : K1

    Perbandingan keliling = r2 : r1Perbandingan keliling = 4 cm : 2 cmPerbandingan keliling = 2  : 1

 

Contoh Soal 2
Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi
a. dua kalinya;
b. (r + 2) cm.
Jawab:
a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:
L1 = πr2 cm2
K1 = 2πr cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 2r adalah:
L2 = π(2r)2= 4πr2 cm2
K2 = 2π(2r) = 4πr cm
Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
L2 – L1 4πr2 – πr2
L2 – L1 = 3πr2 cm2
Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
K2 – K1= 4πr – 2πr
K2 – K12πr cm
Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
L2 : L1 = 4πr2 cm2 πr2 cm
L2 : L1 = 4 : 1
Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:
K2 : K1 = 4πr cm : 2πr cm
K2 : K1 2 : 1
b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:
L1 = πrcm2
K1 = 2πr cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari (r + 2) cm adalah:
L2 = π((r + 2) cm)2
L2 =  π (r2 + 4r + 4) cm2
L2 = (πr2 + 4πr + 4 π) cm2
K2 = 2π((r + 2) cm)
K2 = (2πr + 4π)cm
Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:
L2 – L1 (πr2 + 4πr + 4 π) cm2 – πrcm2
L2 – L1 = (4πr + 4 π) cm2
Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:
K2 – K1= (2πr + 4π)cm – 2πr cm
K2 – K14π cm
Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:
L2 : L1 = (πr2 + 4πr + 4 π) cm2 : πr2 cm
L2 : L1 = (r2 + 4r + 4) : r2
L2 : L1 = (1 + 4/r + 4 r2) : 1
Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:
K2 : K1= (2πr + 4π)cm : 2πr cm
K2 : K1= (r + 2) : r
K2 : K1= (1 + 2/r) : 1
Contoh soal 3
Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas dan keliling lingkaran setelah jari-jarinya
a. diperbesar tiga kalinya;
b. diperkecil 1/2 kalinya.
Jawab:
a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cmadalah:
L1 = πr2
L1 = π x (7 cm) 2
L1 = 22/7 x 49 cm 2
L1 = 154 cm 2
K1 = 2πr
K1 = 2π x 7 cm
K1 = 2x22/7x 7 cm
K1 = 44 cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali (jari-jarinya menjadi 3 x 7 cm = 21 cm) adalah:
L2 = π(21 cm)2
L2 = 22/7 x 441 cm2
L2 = 1.386 cm2
K2 = 2π(21 cm)
K2 = 2x 22/7 x 21 cm
K2 = 132 cm
Selisih luas untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
L2 – L1 1.386 cm– 154 cm 2
L2 – L1 = 1.232 cm2
Selisih keliling untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
K2 – K1= 132 cm – 44 cm
K2 – K188 cm
Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
L2 : L1 = 1.386 cm2154 cm
L2 : L1 = 9 : 1
Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:
K2 : K1 = 132 cm: 44 cm
K2 : K1 3 : 1
b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cmadalah:
L1 = πr2
L1 = π x (7 cm) 2
L1 = 22/7 x 49 cm 2
L1 = 154 cm 2
K1 = 2πr
K1 = 2π x 7 cm
K1 = 2x22/7x 7 cm
K1 = 44 cm
Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil 1/2 kali (jari-jarinya menjadi 7 cm/2 = 7/2 cm) adalah:
L2 = π(7/2 cm)2
L2 = 22/7 x 12,25 cm2
L2 = 38,5 cm2
K2 = 2π (7/2 cm)
K2 = 2 x 22/7 x 7/2 cm
K2 = 22 cm
Selisih luas untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
L1 – L2 154 cm– 38,5 cm 2
L1 – L2 = 115,5 cm2
Selisih keliling untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
K1 – K2= 44 cm – 22 cm
K1 – K222 cm
Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
L2 : L1 = 38½  cm154 cm
L2 : L1 = 77: 308
L2 : L1 = 1: 4
Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:
K2 : K1 = 22 cm: 44 cm
K2 : K1 1 : 2
Contoh Soal 4
Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 616 cm2: 2.464 cm2. Hitunglah
a. perbandingan keliling kedua lingkaran
b. selisih keliling kedua lingkaran;
c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;
d. selisih jari-jari kedua lingkaran.
Jawab:
Terlebih dahulu cari jari-jari untuk kedua lingkaran terebut. Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 616 cm2 adalah:
L1 = πr2
616 cm2 = π x r1 2
616 cm2 = 22/7 x r1 2
r1 2 = 196 cm 2
r1 = √196 cm 2
r1 = 14 cm
Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 2.464 cm2adalah:
L2 = πr2
2.464 cm2 π x r2 2
2.464 cm2 22/7 x r2 2
r2 2 = 784 cm 2
r2 = √784 cm 2
r2 = 28 cm
a. untuk mencari perbandingan keliling kedua lingkaran, terelebih dahulu cari kedua keliling lingkaran tersebut. Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 14 cm adalah
K1 = 2πr
K1 = 2π x 14 cm
K1 = 2x22/7x 14 cm
K1 = 88 cm
Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 28 cm adalah:
K2 = 2πr
K2 = 2π x 28 cm
K2 = 2 x 22/7 x 28 cm
K2 = 176 cm
Maka perbandingan keliling kedua lingkaran adalah:
K1 : K2 = 88 cm :  176 cm
K1 : K2 = 1 :  2
b) Selisih keliling kedua lingkaran adalah:
K2 – K1 = 176 cm – 88 cm
K2 – K1 = 90 cm
c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran adalah:
r1 : r= 14 cm : 28 cm
r1 : r= 1 : 2 cm
d. selisih jari-jari kedua lingkaran.
r r1 : = 28 cm – 14 cm
r r1 : = 14 cm
Contoh Soal 5
Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah a cm dan 3a cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 28 cm, tentukan
a. nilai a;
b. perbandingan luas dan kelilingnya;
c. selisih luas dan kelilingnya.
Jawab:
Diketahui:
r1 = a cm
r2 = 3a cm
r+ r= 28 cm
ditanyakan:
a) nilai a = ?
b) L2 : L1 = ? dan K2 : K1 = ?
c) L2 – L1 = ? dan K2 – K1 = ?
Penyelesaiannya:
a) a cm + 3a cm = 28 cm
4a cm = 28 cm
a = 28 cm/4 cm
a = 7
b) untuk mencari perbandingan luas dan kelilingnya terlebih dahulu mencari jari-jari untuk kedua lingkaran tersebut, kemudian mencari luas dan keliling masing-masing lingkaran tersebut.
r1 = a cm = 7 cm
L1 = πr2
L1 = π(7 cm)2
L1 = 22/7 x 49 cm2
L1 = 154 cm2
K1 = 2πr
K1 = 2π (7 cm)
K1 = 2 x 22/7 x 7 cm
K1 = 44 cm
r2 = 3a cm = 3 x 7 cm = 21 cm
L2 = πr2
L2 = π(21 cm)2
L2 = 22/7 x 441 cm2
L2 = 1.386 cm2
K2 = 2πr
K2 = 2π (21 cm)
K2 = 2 x 22/7 x 21 cm
K2 = 132 cm
Perbandingan luas lingkaran
L2 : L1 1.386 cm2 : 154 cm2
L2 : L1 9 : 1
Perbandingan keliling lingkaran
K2 : K1 = 132 cm : 44 cm
K2 : K1 = 3 : 1
c ) Selisih luas lingkaran adalah
L2 – L1 = 1.386 cm2 – 154 cm2
L2 – L1 = 1.232 cm2
Selisih keliling lingkaran adalah
K2 – K1 = 132 cm – 44 cm
K2 – K1 = 88 cm
Soal Latihan Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah
  1. Diketahui suatu lingkaran berjari-jari x cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi
    a. dua kalinya;
    b. 2(x + 1) cm.
  2. Diketahui diameter suatu lingkaran semula 56 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas lingkaran setelah diameternya
    a. diperbesar empat kalinya;
    b. diperkecil 1/3 kalinya.
  3. Perbandingan keliling dua buah lingkaran adalah 154 cm : 308 cm. Hitunglah
    a. perbandingan luas kedua lingkaran
    b. selisih luas kedua lingkaran;
    c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;
    d. selisih jari-jari kedua lingkaran.
  4. Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah r cm dan 5r cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 84 cm, tentukan
    a. nilai r;
    b. perbandingan luas dan kelilingnya;
    c. selisih luas dan kelilingnya.

C.Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng

 

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada Gambar di bawah, sudut AOB = α adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah lingkaran.

 

 

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.

Jadi, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya

Sekarang perhatikan Gambar di atas tersebut. Dari gambar tersebut diperoleh

 

Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran = πr2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar di atas, sehingga diperoleh

Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB pada Gambar di atas adalah
panjang busur AB = (α/360°) x 2πr
luas juring OAB = (α/360°) x πr2
luas tembereng AB = luas juring OAB – luas ΔAOB.
Contoh Soal Tentang Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring

Perhatikan gambar di atas, diketahui jari – jari OA = 28 cm. Jika besar ∠ AOB = 90°, hitunglah
  1. panjang AB ;
  2. luas juring OAB;
  3. luas tembereng AB.

 

Penyelesaian:
  1. Panjang AB = (∠ AOB/360°)  x 2πr
    Panjang AB = (90°/360°)  x 2 x 22/7 x 28 cm
    Panjang AB = (1/4)  x 2 x 22/7 x 28 cm
    Panjang AB =  44 cm
  2. luas juring OAB = (∠ AOB/360°)  x πr2
    luas juring OAB = (90°/360°)  x 22/7 x (28 cm)2
    luas juring OAB = (1/4)  x 22/7 x 28 x 28 cm2
    luas juring OAB = 616 cm2
  3. Karena besar sudut AOB = 90°, maka Δ AOB adalahΔ siku-siku sisi 10 cm, sehingga
    Luas Δ AOB = ½ alas x tinggi
    Luas Δ AOB = ½ x 28 cm x 28 cm
    Luas Δ AOB = 392 cm2
    Luas tembereng AB = luas juring AOB – luas ΔAOB
    Luas tembereng AB = 616 cm2 – 392 cm2  Luas tembereng AB = 224 cm2
Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s