Materi Kelas VII, Materi kelas VII semester I, PLSV, Uncategorized

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Persamaan Linear Satu Variabel

Kalimat Pernyataan

Kalian pasti sudah mempelajari tentang jenis- jenis kalimat, seperti : kalimat tanya, kalimat berita, dan kalimat perintah. Coba berikan contoh tentang kalimat- kalimat itu Pernahkah kamu menjawab pertanyaan Bapak atau Ibu guru ? Jika pernah, bagaimana jawaban yang Anda kemukakan itu ? Benar atau salah ? Jika Anda menjawab dengan lengkap, sebaiknya jawabannya berupa kalimat. Sebagai contoh : ” Berapa banyak siswa di kelasmu ? ” Contoh jawabannya adalah ” Banyak siswa di kelas saya ada 40 orang ”.
Perhatikan kalimat berikut ini :
a. Banyak pemain sepak bola dalam satu tim ada 11 orang
b. Mata uang negara Inggris adalah Dollar
c. Balok merupakan bangun ruang
d. 13 adalah bilangan prima
e. -8 < 3
f. Bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil hasilnya adalah bilangan genap
Manakah diantara kalimat di atas yang benar ? mana yang salah ? Kalimat yang sudah bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat pernyataan.
2. Kalimat Terbuka
( i ) Masalah buku
Suatu hari Ricki mambawa sebuah tas yang berisi buku. Sebelum tas dibuka Ricki berkata pada temannya ”banyak buku dalam tas ada 9 buah”. Bagaimana pendapatmu tentang ucapan Ricki ?,benar atau salah ?
( ii ) Perhatikan kalimat ” 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5 ”
Apakah anda dapat menentukan kalimat itu benar atau salah ?
Kita tidak dapat menentukan apakah kalimat itu benar atau salah, karena ”suatu bilangan ” pada kalimat itu belum diketahui nilainya. Benar atau salahnya bergantung pada berapakah ” suatu bilangan ” itu. Jika ” suatu
bilangan” diganti dengan 4, maka kalimat itu menjadi ” 9 dikurangi 4 hasilnya 5 ”, kalimat ini adalah kalimat yang benar. Jika ” suatu bilangan” diganti dengan 2, maka kalimat itu menjadi ” 9 dikurangi 2 hasilnya 5 ”,
kalimat ini adalah kalimat yang salah.
Kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat terbuka. ” suatu bilangan ” pada kalimat di atas belum diketahui nilainya. Dalam matematika, sesuatu yang belum diketahui nilainya dinamakan
variabel atau peubah. Biasanya disimbolkan dengan huruf kecil x, y, a, n atau bentuk yang lain. ” 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5”. Jika suatu bilangan diganti dengan x, maka kalimat itu dapat ditulis dalam simbol matematika 9 – x = 5.

1.  Kalimat Terbuka, Variabel, dan Konstanta

a.   Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya.

b.   Variable (peubah) adalah lambang (symbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti           oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan

c.   Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu

Pada kalimat berikut x + 5 = 12

Belum dapat mengatakan kalimat itu benar atau salah, sebab nilai (x) belum diketahui. Bila lambang (x) diganti dengan lambang bilangan cacah, barulah itu dapat dikatakan kalimat itu benar atau salah. Jika (x) diganti dengan “3” , kalimat itu bernilai salah ; tetapi bila (x) diganti dengan 7 , kalimat itu bernilai benar. Lambang (x) dapat pula diganti menggunaan huruf-huruf kecil dalam abjad lainnya, yaitu ; a, b,c,… x,y,z dari bentuk diatas

x+5 = 12           (kalimat terbuka)

3+ 5 = 12          (kalimat Salah )

7+5 = 12          (kalimat benar)

Huruf x pada x + 5 = 12 disebut variable (peubah), sedangkan 5 dan 12 disebut konstanta

Contoh :

Kalimat Terbuka

Peubah

Konstanta

x + 13 = 17

x

13 dan 17

7 – y = 12

y

7 dan 12

4z – 1 = 11

z

-1 dan 11

Catatan :

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

contoh:

x + 2 =5

2.   Pengertian Persamaan Linier Satu Variabel

Persamaan Linier Satu Variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan tanda sama dengan ( “=”) dan hanya mempunyai satu variable berpangkat 1 . bentuk umum persamaan linier satu variable adalah ax + b = 0

contoh :

1.      x + 3 = 7

2.      3a + 4 = 19

3.      b  = 10

Pada contoh diatas x, a, b adalah variable (peubah) yang dapat diganti dengan sembarang bilangan yang memenuhi .

3.   Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Himpuana Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari penyelesaian-penyelesaian suatu persamaan .

Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan linier satu variable , yaitu :

a.       Subtitusi ;

b.      Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara :

a.       Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama

b.      Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.

Contoh :

1.      Dengan menggunakan kode cara diatas , selesaikan persamaan 3x-1=14; jika x Merupakan anggota himpunan P = ( 3,4,5,6) !

Jawab :

3x-1+14 x  Є P = (3,4,5,6)

a.                   Cara subtitusi :

3x-1= 14;  jika x = 3 = maka 3(3) – 1 = 8 (salah)

3x-1= 14;  jika x = 4 = maka 3(4) – 1 = 11 (salah)

3x-1= 14;  jika x = 5 = maka 3(5) – 1 = 14 (benar)

3x-1= 14;  jika x = 6 = maka 3(6) – 1 = 17 (salah)

Jadi , penyelesaian dari 3x-1+14 adalah 5

b.                  Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen

Persamaan Operasi Hitung Hasil
a

 

b.

 

c.

3x-1=14 (i) Kedua ruas ditambah 1 3x-1+1 = 14 + 1

3x = 15                (ii)

3x = 15 Kedua ruas dikalikan 1/3 3x = 15

x = 5   (iii)

X =5

Dari table diatas, bila x = 5, disubtituskan pada (a),(b) dan (c) maka persamaan tersebut menjadi suatu kesamaan .

(a)    3x-1=14

3 (5) – 1 = 14

14 = 14      (ekuivalen)

(b). 3x =15

15 = 15   (ekuivalen)

(c)   x = 5                 5 = 5       (ekuivalen)

Berati 3x – 1 = 14 dan 3x = 15 merupakan persamaan yang ekuivalen .

4.      Persamaan yang ekuivalen

Persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang memiliki himpunan penyelesaian sama .

Contoh :

1.   Menyelesaikan PLSV dengan menggunakan lawan dan kebalikan bilangan

contoh :

Carilah penyelesaian dari :

3 (3x + 4) = 6 ( x -2)

jawab :

9x + 12 = 6x – 12

9x – 6x = -12-12

3x = -24

x =− 24/3

= -8

Jadi , HP = {-8}

2.   Perhatikan persamaan 6x – 3 = 2x + 1 dengan x variable pada himpunan bilangan bulat. Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai berikut :

Jawab :

6x – 3 = 2x + 1

6x – 3 + 3 = 2x + 1+3

6x               = 2x + 4

6x – 2x     = 4

4x               = 4

x                = 1

jadi himpunan pnyelesaiannya adalah 1

B. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

1.   Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing <, >, ≥, dan  ≤ .  Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4

Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka

yang hanya memuat satu variable dengan derajad satu, yang

dihubungkan oleh lambang <, >, ≥, dan  ≤. Variablenya hanya satu

yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian disebut

pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah).

2.   Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu variable

Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :

1.      Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula

2.      Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula

3.      Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari tanda ketidaksamaan dibalik

4.      Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya hilang .

Contoh 1 :

1.   Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,… ,15}

Jawab :

3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}

3x –2x – 7 > 2x – 2x + 2                                             ( kedua ruas dikurangi 2x)

x – 7 > 2

x – 7 + 7 > 2 + 7                                                         ( kedua ruas dikurangi7 )

x > 9

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x ­| x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15}

HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 1 < x + 3  dengan x variable pada himpunan bilangan cacah.

Jawab :

3x – 1 < x + 3

3x – 1+ 1 < x + 3 + 1              (kedua ruas ditambah 1 )

3x < x + 4

3x + (-x) < x + (-x) +4                         (kedua ruas ditambah – x)

2x < 4

X < 2

Karena x anggota bilangan cacah maka yang memenuhi x < 2 adalah x = 0 atau x = 1

Jadi himpunan pnyelesaiannya adalah { 0,1 } .

Dalam garis bilangan, grafik himpunan penyelesaiannya adalah sebagai berikut

-1      0      1       2      3       4      5

Penyelesaian

Contoh :

x +    < 6 +

x         < 6 +  –

x          < 4 +

x –        < 4

–     < 4

< 4

-x         < 4 . 6 X         > -24

Contoh :

Sebuah perahu angkut dapat menampung dengan berat tidak lebih dari 1  ton . jika sebuah kotak beratnya 15 kg, maka berapa paling banyak kotak yang dapat diangkut oleh perahu ?

Jawab :

Kalimat matematika : 15 kg x ≤ 1  ton

Penyelesaian : 15 kg x ≤ 1 .500 kg

x ≤ 1 .500 kg

15 kg

x ≤     100

jadi perahu paling banyak mengangkut 100 kotak  .

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s