Materi kelas VIII, Materi kelas VIII semester I, teorema pythagoras, Uncategorized

Teorema Phytagoras

pythagoras—————————————

TEOREMA PYTHAGORAS

Sejarah

Pythagoras (582-500 SM) lahir di Pulau Samos di Yunani, dan melakukan banyak perjalanan melalui Mesir, sekaligus belajar matematika. Tidak banyak yang diketahui dari Phytagoras pada tahun-tahun awal. Pythagoras menjadi terkenal setelah mendirikan sebuah kelompok, “the Brotherhood of Pythagoreans” (Persaudaraan ilmu Pythagoras), yang dikhususkan untuk mempelajari matematika. Kelompok ini sangat dikhususkan sebagai simbol, ritual dan doa. Selain itu, Pythagoras percaya bahwa “Banyak aturan alam semesta,” dan ilmu Pythagoras memberikan nilai numerik untuk banyak obyek dan gagasan. Nilai-nilai numerik, pada gilirannya, dihubungkan dengan nilai mistik dan spiritual.

Legenda mengatakan bahwa setelah menyelesaikan teorema yang terkenal itu, Pythagoras mengorbankan 100 lembu. Meskipun ia sangat diagungkan dengan penemuan teorema yang terkenal itu, namun tidak diketahui apakah Pythagoras adalah penulis yang sebenarnya. Para pengkaji dalam kelompok the Brotherhood of Pythagoreans telah menulis banyak bukti geometris, tetapi sulit untuk dipastikan siapa penemu Teorema Phytagoras itu sendiri, sungguh sebuah kelompok yang sangat menjaga rahasia temuan mereka. Sayangnya, sumpah kerahasiaan tersebut bertentangan dengan ide matematika yang penting yang harus diketahui publik. Kelompok the Brotherhood of Pythagoreans telah menemukan bilangan irrasional. Jika kita mengambil segitiga siku-siku sama kaki dengan kaki ukuran 1, maka panjang sisi miring adalah sqrt 2. Namun jumlah ini tidak dapat dinyatakan sebagai panjang yang dapat diukur dengan penggaris dibagi menjadi beberapa bagian pecahan, dan ini sangat mengganggu kelompok Pythagoras, yang terlanjur percaya bahwa “Semua adalah angka.” Mereka menyebutnya angka-angka “alogon,” yang berarti “unutterable.” Akhirnya mereka sangat terkejut dengan angka-angka ini, sehingga mereka dihukum mati bagi anggota yang berani menyebutkan keberadaan mereka kepada publik. Barulah 200 tahun kemudian, yaitu oleh Eudoxus, seorang  matematikawan Yunani yang dapat mengembangkan sebuah cara untuk berurusan dengan angka-angka unutterable tersebut.

“Jumlah dari kuadrat sisi segitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miring”.

Hubungan ini telah dikenal sejak zaman Babilonia dan Mesir kuno, meskipun mungkin belum dinyatakan secara eksplisit seperti di atas. Sekitar pertengahan tahun 4000 dalam kalender Babilonia (sekitar tahun1900 SM), yang sekarang dikenal sebagai Plimpton 322 , (dalam koleksi dari Columbia University, New York), terdapat daftar kolom nomor yang menunjukkan apa yang sekarang kita sebut Triples Pythagoras –yaitu kumpulan angka yang memenuhi persamaan a^2+b^2=c^2

Perbedaan Rumus dan Teorema Pythagoras

Teorema merupakan sebuah pernyataan (umumnya dalam bentuk implikasi, ”jika…maka…”) yang (selalu) bernilai benar. Dalam bahasa Indonesia, istilah ”teorema” sering ditulis dengan nama ”dalil”. Karena itu, pada beberapa literatur ”Teorema Pythagoras” kadang disebut dengan nama ”Dalil Pythagoras”.

Berikut beberapa alternatif untuk menyatakan Teorema Pyhagoras:

“Pada sebarang segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain”.

“Jika segitiga ABC dengan C sudut siku-siku dan a, b, c berturut-turut panjang sisi di depan sudut A, B, dan C maka berlaku  a^2+b^2=c^2”.

“Jika segitiga ABC siku-siku di C maka luas persegi yang panjang sisinya c sama dengan jumlah luas persegi yang panjang sisi-sisinya a dan b”.

“Jika segitiga ABC siku-siku maka luas persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi pada sisi-sisi yang lain”(“The area of the square on the hypotenuse of a right-angled triangle is a aqual to the sum of the areas of the square on the other two sides”).

Rumus dalam matematika adalah suatu pernyataan aljabar (menggunakan lambang) baik berupa kesamaan maupun ketidaksamaan. Dengan demikian, apa yang disebut Rumus Pythagoras adalah kesamaan: a^2+b^2=c^2 .

Jadi jelas bahwa Teorema Pythagoras adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar tentang panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, sementara Rumus Pythagoras berupa pernyataan aljabar yang menyatakan hubungan ketiga panjang sisi segitiga siku-siku. Rumus Pythagoras bukan Teorema Pythagoras, tetapi Teorema Pythagoras memuat Rumus Pythagoras baik secara implisit maupun eksplisit.

Tripel Pythagoras

Terdapat beberapa Tripel Pythagoras yang sudah biasa dikenal seperti (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (7, 24, 25), dan (8, 15, 17). Secara umum terdapat dua jenis Tripel Pythagoras. Pertama, Tripel Pythagoras Primitif atau Tripel Pythagoras Dasar yaitu Tripel Pythagoras yang semua bilangannya memiliki FPB (factor persekutuan terbesar) sama dengan 1. Ini artinya Tripel Pythagoras Primitif tidak dapat disederhanakan lagi menjadi bilangan-bilangan bulat yang lebih kecil dengan perbandingan yang sama. Jenis kedua Tripel Pythagoras Non-Primitif. Tripel Pythagoras Non-Primitif dapat diperoleh antara lain dengan mengalikan setiap unsur pada Tripel Pythagoras Primitif dengan bilangan asli 2.

Contoh Tripel Pythagoras Primitif adalah (3,4,5) dan (5,12,13). Contoh Tripel Pythagoras Non- primitif adalah (6,8,10), (9,12,15), (12,16,20), (15,20,25), (10,24,26), (15,36,39), (20,48,52), dan (25,60,65). Tripel Pythagoras (6,8,10) = (2 x 3,2 x 4,2 x 5) cukup kita tulis 2 x (3,4,5).

Berikut ini, sebuah rumus yang cukup sederhana. 2m, m2 – 1, m2 + 1 dengan m sebarang bilangan asli lebih dari 1. Dapat ditunjukkan bahwa rumus di atas memenuhi Tripel Pythagoras sebagai berikut:

(2m)2 + (m2 – 1)2  = m4 + 4m2  – 2m2 + 1

= m4 + 2m2 + 1

= (m2 + 1)2

Bukti Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras adalah sebuah pernyataan yang selalu bernilai benar. Akan tetapi  bagi  siswa  kebenaran  pernyataan  tersebut  tidak  serta  merta  jelas  dan mudah  dimengerti.  Bahkan  bagi  banyak  orang  dewasa  pun,  kebenaran pernyataan Teorema Pythagoras perlu pembuktian. Sudah  menjadi  suatu  keharusan  dalam  matematika,  bila  sebuah  pernyataan hendak  dikatakan  sebagai  ”teorema”  maka  pernyataan  itu  harus dibuktikan terlebih dahulu kebenarannya.

Berikut ini beberapa bukti yang cukup relevan untuk dipergunakan dalam pembelajaran di SMP. Bukti Teorema Pythagoras berikut diklasifikasikan ke dalam beberapa jenis, yaitu:

Bukti Diagram (proof without words)

Bukti dari Pythagoras berupa bukti dengan diagram dan termasuk salah satu bukti  yang  mudah  untuk  dipahami.  Bukti  dengan  diagram  kadang  dapat dipahami  tanpa  menyertakan  tulisan  apapun  sehingga  sering  disebut  ”bukti tanpa kata-kata” (proof without words). Bukti  dapat  dipahami  dengan  hanya  melihat  dan  mencermati  diagram. Berikut bukti dari Pythagoras (atau Perguruan Pythagoras).

1

Gambar 1 (pembuktian teorema pythagoras dengan diagram)

Keempat segitiga siku-siku pada persegi Gambar 1 (i) dan (ii) mempunyai ukuran  panjang  sisi  maupun  sudutnya  berpasang-pasangan  sama  (segitiga-segitiga itu dinamakan kongruen) Dengan demikian, luas daerah yang tidak ditutupi  oleh  keempat  segitiga  siku-siku  itu  (yang  tidak  diarsir)  haruslah sama. Pada persegi Gambar  (i) yang tidak terarsir luasnya c^2  dan kedua persegi pada Gambar (ii) jumlah luasnya a^2+b^2 Jadi,  a^2+b^2=c^2.
. (TERBUKTI)

Bukti dengan menggunakan rumus luas

Bukti dari Bhaskara (matematikawan India, sekitar abad X).

Bukti dari J.A. Garfield tahun 1876.

Bukti dengan pemotongan (dissection method)

(Bukti-bukti diatas seleapnya dapat di lihat dengan mendownload file diakhir pembahasan)

Beberapa  bukti  yang  telah  dibahas  di  atas  dapat  dipergunakan  di  SMP. Beberapa  di  antaranya  dapat  pula  didemonstrasikan  menjadi  sebuah  alat peraga. Ini tentu lebih  menarik  bagi siswa. Selain  itu, walaupun  jenis  bukti “proof  without  words”  masih  menjadi polemik di kalangan  matematikawan (karena  tidak  memuat  kata-kata  dan  lambang  aljabar),  tetapi  bukti  jenis  ini cocok untuk mengasah intuisi dan penalaran siswa.

Kebalikan Teorema Pythagoras

Umumnya kita mengenal rumus yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah Rumus Pythagoras. Teorema atau dalil  yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah Teorema Pythagoras. Rumus Pythagoras merupakan bagian penting dari Teorema  Pythagoras.  Secara  umum,  pernyataan  Teorema  Pythagoras mengambil  bentuk  implikasi  yaitu  memuat kata “maka”  atau sejenisnya. Satu hal yang hampir selalu dilupakan adalah apakah kebalikannya juga benar? Jika pada suatu segitiga dipenuhi kuadrat panjang sisi terbesar sama  dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain maka segitiga itu siku-siku?

Ingat  pada  Teorema  Pythagoras,  sifat  siku-siku  segitiga  sebagai  sebab  dan Rumus  Pythagoras  sebagai  akibat.  Bagaimana  bila  sebaliknya, Rumus Pythagoras sebagai sebab apakah berakibat sifat siku-siku pada segitiga?

Bukti Kebalikan Teorema Pythagoras:

Pada segitiga ABC dengan panjang sisi a, b dan c berlaku a2 + b2 = c2, akan dibuktikan bahwa segitiga ABC siku-siku di C.

Buatlah segitiga ABC dengan sudut ACB siku-siku dan A’C = b . Misal AB’ = x. Oleh karena segitiga A¢BC siku-siku di C maka menurut Teorema Pythagoras berlaku: a2 + b2 = x2…(1), Di lain pihak, diketahui bahwa a2 + b2 = c2… (2), maka dari (1) dan (2) diperoleh x2 = c2 atau x = c.

Jadi, AB = AB’. Dengan demikian, oleh karena semua sisinya sama panjang maka segitiga ABC kongruen dengan ABC. Ini berakibat sudut ACB juga sikusiku. (terbukti).

Kebalikan Teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Pada sebarang segitiga ABC dengan a2 + b2 = c2 maka sudut C siku-siku”.

Akhirnya, Teorema Pythagoras dan Kebalikan Teorema Pythagoras dapat pula digabung menjadi sebuah teorema gabungan, sebagai berikut:

“Pada sebarang segitiga ABC, jika sudut C siku-siku maka a2 + b2 = c2 dan sebaliknya, jika a2 + b2 = c2 maka sudut C siku-siku”.

Permasalahan dan Solusi

Permasalahan yang sering terjadi dalam pembelajaran materi Teorema Pythagoras di sekolah adalah siswa hanya mengetahui rumus pythagoras tanpa mengetahui bukti darimana rumus itu didapatkan. Hal ini karena guru hanya memberikan rumus pythagoras untuk menyelesaikan soal-soal, tanpa memberikan pembuktian-pembuktian dari teorema pythagoras.

Solusi dari permasalahan diatas adalah pemberian contoh soal dimana didalamnya juga termuat pembuktian rumus yang diperoleh dari soal tersebut.

Latihan Soal

latihan soal

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s