barisan dan deret, materi kelas XII, materi kelas XII semester II, Uncategorized

Barisan Dan Deret

A. Pola Bilangan

Pola dalam matematika kaitannya dengan bilangan adalah suatu susunan bilangan dengan aturan tertentu.

Perhatikanlah ilustrasi berikut

Misalkan beberapa kelereng disusun  dan dikelompokkan dalam bentuk persegi sebagaimana berikut

64

kalau kita cermati maka kita dari kiri ke kanan masing-masing jumlah kelereng pada tiap kelompok berturut-turut adalah; 1, 4, 9, 16, 25.

sehingga kalau kita rinci

65

Dapatkah Anda menentukan kelompok ke-6, ke-7, ke-8, dan seterusnya?

Kalau kita amati dari kelompok 1, 2, 3, 4, sampai 5 ternyata membentuk pola banyak kelereng tertentu

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Kelompok&Banyak kelereng&pola\\\hline \boxed{k_{1}}&1&1=1x1\\\hline \boxed{k_{2}}&4&4=2x2\\\hline \boxed{k_{3}}&9&9=3x3\\\hline \boxed{k_{4}}&16&16=4x4\\\hline \boxed{k_{5}}&25&25=5x5\\\hline ... &...&...\\\hline \boxed{k_{n}}&?&?=nxn\\\hline \end{tabular}

dengan memperhatikan pola bilangan di atas kita akan dengan mudah menemukan jumlah kelereng kelompok 6 , yaitu jumlahnya akan sama dengan 6 x 6 = 36 demikian seterusnya.

B. Menemukan Pola Barisan dan Deret

Perhatikan bilangan berikut

\frac{1}{2}, \frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20},\frac{1}{30},...,\frac{1}{9900}

kalau kita tabelkan sebagaimana berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Suku ke&Nilai&Pola\\\hline \boxed{u_{1}}&\boxed{\frac{1}{2}}&\boxed{\frac{1}{2}=\frac{1}{1\times 2}}\\\hline \boxed{u_{2}}&\boxed{\frac{1}{6}}&\boxed{\frac{1}{6}=\frac{1}{2\times 3}}\\\hline \boxed{u_{3}}&\boxed{\frac{1}{12}}&\boxed{\frac{1}{12}=\frac{1}{3\times 4}}\\\hline ...&...&...\\\hline \end{tabular}.

kita akan dengan mudah menentukan suku ke-n atau u_{n} , yaitu akan mengikuti pola u_{n}=\frac{1}{n\times (n+1)}. Sehingga kita tidak akan kesulitan apabila ingin mengetahui suku ke-2014, yaitu

u_{2014}=\frac{1}{2014\times (2015)}.

C. Barisan Aritmetika

Menurut definisi

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku yang berurutan akan sama.

Perhatikan untuk

jika u_{1}=au_{2}=a+b, maka u_{3}=a+b+b=a+2b dan untuk suku seterusnya akan selalu ditambahkan dengan beda ” b “. Sehingga

b=u_{2}-u_{1}=u_{3}-u_{2}=u_{4}-u_{3}=...=u_{n}-u_{n-1}. Selanjutnya suku-suku pada barisan aritmetika dapat kita tuliskan sebagai berikut:

\begin{matrix} u_{1} & = & a&\\ u_{2} & = & u_{1}&+&b&=&u_{1}&+&1.b\\ u_{3} & = & u_{2}&+&b&=&u_{1}&+&2.b\\ u_{4} & = & u_{3}&+&b&=&u_{1}&+&3.b\\ u_{5} & = & u_{4}&+&b&=&u_{1}&+&4.b\\ ... & = & ...\\ u_{n} & = & u_{1}&+&(n-1)b \end{matrix}

D. Deret Aritmetika

adalah apabila jika pada barisan aritmetika dijumlahkan atau dihubungkan dengan tanda jumlah

Perhatikanlah untuk deret aritmetika berikut

misalkan deret aritmetika dilambangkan dengan S_{n}
, maka

S_{n}=a+\left ( a+b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+3b \right )+...+\left ( a+(n-1)b \right )

dan

S_{n}=a+\left ( a+b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+3b \right )+...+\left ( a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\left ( a+(n-1)n \right )+...+\left ( a+3b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+b \right )+a

——————————————————   +

2S_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+...+2a+(n-1)b\\ 2S_{n}=n\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( u_{1}+u_{n} \right )

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Perhatikan susunan bilangan memiliki pola sebagai berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&3&7&15&...&... \\\hline \end{tabular}

maka tentukanlah titik-titik pada kotak ke-5 dan ke-6 adalah… .

Jawab:

dengan melihat polanya kita menemukan hubungan sebagai mana ilustrasi berikut

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&3&7&15&...&... \\\hline 1&1+2=3&3+4=7&7+8=15&15+16=31&31+32=63\\\hline 1&3&7&15&31&63\\\hline \end{tabular}

ternyata suku setelahnya diperoleh dengan cara suku sebelumnya ditambah dengan  2^{n-1}.

Misalkan

u_{2}=u_{1}+2^{2-1}=1+2^{1}=1+2=3\\ u_{3}=u_{2}+2^{3-1}=3+2^{2}=3+4=7\\ u_{4}=u_{3}+2^{4-1}=7+2^{3}=7+8=15\\ ...\\ dst

2. Diketahui barisan aritmetika 1,2,3,4,5,…, maka besar suku ke-15 atau u_{15} adalah… .

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} u_{1} &= & 1,&u_{2}&=&2,&u_{3}&=&3,&dst\\ &&&\\ b & = &u_{2}-u_{1}&=&u_{3}-u_{2}=1 \\ & & \\ u_{n} & = & a&+&(n-1)b \end{matrix}\right.

sehingga

u_{15}=a+(15-1)b\: \: ,\: maka\\ u_{15}=1+14.1=15

3. Perhatikanlah barisan bilangan berikut

4, 1, -2, -5, -8, …, maka besar suku ke 15 adalah… .

Jawab:

\left\{\begin{matrix} u_{1} &=&4, &u_{2}&=&1,&u_{3}&=&-2\\ & & \\ b & = & u_{2}-u_{1}&=&u_{3}-u_{2}=-3\\ & & \\ u_{n} & = & a&+&(n-1)b \end{matrix}\right.

maka u_{15}=a+(15-1)b\\ u_{15}=4+(14).-3\\ u_{15}=-38

4. Tentukanlah jumlah deret aritmetika dari

1+2+3+4+5+...+2014

Jawab:

diketahui\\ n=2014\\ u_{1}=1,\: u_{2014}=2014\\ S_{2014}=\frac{1}{2}\left ( u_{1}+u_{2014} \right ).

Sehingga

S_{2014}=\frac{2014}{2}\left ( 1+2014 \right )=1007\times 2015

E. Induksi Matematika

Misalkan P(n)  adalah sebuah pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk semua bilangan asli n,

  1. P(1) bernilai benar
  2. Jika P(n) benar, maka P(n+1) untuk semua n bilangan asli.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku

1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )

Bukti:

Misalkan

P(n)=1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )

Langkah pertama:

untuk n=1 , diperoleh 1=\frac{1}{2}\left ( 1\times (1+1) \right ) adalah benar, maka P(1) benar.

Langkah kedua:

Anggap P(n=k) benar, yakni

P(k)=1+2+3+4+...+k=\frac{1}{2}\left ( k\times (k+1) \right ).

Langkah ketiga:

Akan ditunjukkan P(n=k+1) benar, yaitu

1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)\times ((k+1)+1)}{2}.

Sebagai bukti:

1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{k\times (k+1)}{2}+(k+1)\\ =(k+1)\left ( \frac{k}{2}+1 \right )\\ =\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )\\ =\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( (k+1)+1 \right )

Karena p(k+1) terbukti, maka

terbukti bahwa

1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right ) berlaku untuk setiap bilangan asli  n.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Carilah nilai titik-titik berikut berkaitan dengan pola bilangan

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&1&2&3&5&8&...&...\\\hline \end{tabular}

2. Seutas pita dibagi 10 bagian dengan panjang yang membentuk deret aritmetika. Jika pita terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, maka panjang pita semula adalah… .

3. Suku ke-2 dari suatu deret aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 28, maka suku ke-9 adalah… .

4. Jika jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S_{n}=2n^{2}+3n , maka beda deret tersebut adalah… .

5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk n bilangan asli berlaku

  • 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n^{2}+n \right )
  • 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{6}\left ( 2n^{3}+3n^{2}+n \right )
  • 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}\left ( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right )
  • 1^{4}+2^{4}+3^{4}+4^{4}+...+n^{4}=\frac{1}{30}\left ( 6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n \right )

F.  Barisan Geometri

Perhatikalah susunan bilangan berikut ini

1,\: \frac{1}2,\: \frac{1}{4},\: \frac{1}{8},\: \frac{1}{16},\: ...

Dari pola bilangan di atas kita menndapatkan bahwa

1,\: \frac{1}2,\: \frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\: \frac{1}{2}\times\frac{1}{4} ,\: \frac{1}{2}\times \frac{1}{8},\: ...

sehingga ada hal menarik, yaitu

\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{u_{3}}{u_{2}}=\frac{u_{4}}{u_{3}}=...=\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{1}{2}

selanjutnya dapat kita tuliskan

u_{1}=a=1\\ u_{2}=u_{1}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\: \Leftrightarrow \: u_{2}=a.r\\ u_{3}=u_{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{4}\: \Leftrightarrow \: u_{3}=a.r^{2}\\ u_{4}=u_{3}\times\frac{1}{2}=1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=1\times \frac{1}{8}\: \Leftrightarrow \: u_{4}=a.r^{3} \\ ...=...\\ u_{n}=a.r^{n-1}.

Pembanding yang selalu tetap selanjutnya disebut sebagai rasio  dalam hal ini adalah r.

G.  Deret Geometri

deret geometri adalah penjumlahan pada suku-suku yang memiliki pola geometri.

Misalkan

S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+...+ar^{n-1}

Untuk mencari besar S_{n} , maka dengan mengalikan sebesar r  ke S_{n}  kita mendapatkan bahwa

rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+ar^{6}+...+ar^{n}

S_{n}-rS_{n}=\left ( a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n-2}+ar^{n-1} \right )-\left ( ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+ar^{5}+...+ar^{n-1}+ar^{n} \right )\\ \left ( 1-r \right )S_{n}=a-ar^{n}=a\left ( 1-r^{n} \right )\\ S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}

\LARGE\fbox{Contoh Soal}

1. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan berikut

4,1,\frac{1}{4},\frac{1}{6},...

Jawab:

u_{10}=ar^{10-1}=ar^{9}\left\{\begin{matrix} a & = & 4\\ r & = & \frac{u_{2}}{u_{1}}&=&\frac{1}{4} \end{matrix}\right..

maka

u_{10}=ar^{9}=4.\left ( \frac{1}{4} \right )^{9}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{-1}\times \left ( \frac{1}{4} \right )^{9}=\left ( \frac{1}{4} \right )^{8}.

2. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari

4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+...

Jawab:

Dengan suku pertama dan rasio seperti pada soal no. 1 kita mendapatkan

S_{10}=\frac{4.\left ( 1-\left ( \frac{1}{4} \right )^{10} \right )}{1-\frac{1}{4}}=\frac{16}{3}\left ( 1-\left ( \frac{1}{4} \right )^{10} \right )

3. Suatu deret geometri  dengan S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-2014 deret tersebut adalah… .

Jawab:

Diketahui S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-2014 adalah u_{2014}=S_{2014}-S_{2013}.  Sehingga

u_{2014}=S_{2014}-S_{2013}\\ u_{2014}=\left ( 3.2^{2014}-1 \right )-\left ( 3.2^{2013}-1 \right )\\ =3.2^{2014}-3.2^{2013}\\ =3.2^{2013}\left ( 2-1 \right )\\ =3.2^{2013}.

4. Diketahui deret geometri dengan \frac{u_{4}}{u_{6}}=p dan u_{2}\times u_{8}=\frac{1}{p} , maka suku pertama deret geometri tersebut adalah… .

Jawab:

Diketahui bahwa

\left\{\begin{matrix} \frac{u_{4}}{u_{6}} &= & p\\ & & \\ u_{2}\times u_{8}&=&\frac{1}{p} \end{matrix}\right.

maka

\frac{u_{6}}{u_{4}}=\frac{ar^{5}}{ar^{3}}=r^{2}=\frac{1}{p}\\ dan\\ u_{2}\times u_{8}=ar\times ar^{7}=a^{2}r^{8}=\left ( ar^{4} \right )^{2}=\frac{1}{p}\Leftrightarrow \: u_{5}=\sqrt{\frac{1}{p}}\\ sehingga\\ u_{5}=ar^{4}=a\left ( r^{2} \right )^{2}\Leftrightarrow \: \sqrt{\frac{1}{p}}=a\left ( \frac{1}{p} \right )^{2}\\ a=p^{2}\times \sqrt{\frac{1}{p}}=p\times p\times p^{-\frac{1}{2}}=p\times p^{\frac{1}{2}}=p\sqrt{p}

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

  1. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret geometri  1+\frac{4}{5}+\left ( \frac{4}{5} \right )^{2}+....
  2. Diketahui deret geometri  dengan S_{n}=3.2^{n}-1 , maka suku ke-20 deret tersebut adalah… .
  3. Jika suku pertama barisan geometri adalah \sqrt[3]{x} dan suku ke-2 adalah \sqrt{x} , maka suku ke-20 adalah…
  4. Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96, maka 3072 adalah suku ke… .
  5. Tentukanlah suku ke-2014 dan jumlah 2014 suku pertama dari  3-2+\frac{4}{3}-\frac{8}{9}+....
  6. Tentukanlah  suku ke-2014 dan jumlah 2014 suku pertama dari  4+\frac{4}{3}+\frac{4}{9}+....
  7. Jika pada deret geometri u_{1}=x^{-2}\: ,\: u_{5}=x^{2}\: ,dan\: u_{9}=64 , maka u_{7}=....
  8. Jika jumlah n suku dari sebuah deret geometri yang rasionya r adalah S_{n}, maka nilai \frac{S_{6n}}{S_{3n}}=....

Notasi Sigma dan Induksi Matematika

A. Notasi Sigma

Lambang   "\sum" (dibaca Sigma) adalah huruf besar yunani yang berarti jumlah. Penggunaan notasi sigma di sini adalah untuk mencatat penjumlahan yang teratur, sehingga penulisan suatu deret bilangan yang memiliki pola tertentu dapat dituliskan dengan lebih ringkas.

Perhatikanlah ilustrasi berikut:

\begin{array}{ll}\\ \textrm{a}.\quad 1+2+3+4+5+\cdots +100\\ \textrm{b}.\quad 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+\cdots +100^{2}\\ \textrm{c}.\quad 0+2+6+12+20+\cdots +380\end{array}.

Dari contoh di atas dapat diringkas dengan notasi sigma yang didefinisikan sebagai berikut:

\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}a_{i}&=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n} \end{aligned}\\\\ \begin{aligned}\textrm{Dibaca}:\: \: "\textrm{Jumlah}\: \textrm{dari}\: a_{i}\: \textrm{untuk}\: \: i\:\textrm{ dari 1 sampai dengan}\: \: n" \: \: \textrm{dan}\: \: a_{i}\: \textrm{adalah suku ke}-i \end{aligned}.

Sehingga untuk no. 1 dapat disingkat sebagai berikut

1+2+3+4+\cdots +100 =\displaystyle \sum_{i=1}^{100}i.

B. Sifat-Sifat Notasi Sigma  

\begin{array}{ll}\\ \textrm{Misalkan}&a_{k}\: \: \textrm{dan}\: \: b_{k}\: \: \textrm{adalah suku ke}-k\: \textrm{dan C adalah suatu konstanta, maka}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}C=nC\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}C.a_{k}=C\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )^{2}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n}\\ &\blacklozenge \quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{m}a_{k}+\sum_{k=m+1}^{n}a_{k},\quad 1<m<n \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tulislah jumlah berikut dengan lengkap}\\ &\begin{array}{lll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}k&\textrm{f}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{3}2^{k}\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(k-3)&\textrm{g}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}\frac{1}{3^{k}}\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}5k&\textrm{h}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left ( k^{2}+1 \right )\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(4k+2)&\textrm{i}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}5\left ( \frac{2}{3} \right )^{k}\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(2k+3)&\textrm{j}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left ( k^{2}+2k-3 \right ) \end{array} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Perhatikanlah,}\\ &\begin{array}{lll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}k=1+2+3+4=10\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(k-3)=(1-3)+(2-3)+(3-3)+(4-3)=-2.\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}5k=5.1+5.2+5.3+5.4=50\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(4k+2)=(4.1+2)+(4.2+2)+(4.3+2)+(4.4+2)=48\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}(2k+3)=(2.1 +3)+(2\cdots +3)+(2\cdots +3)+(2\cdots +\cdots )=\cdots \\ &\textrm{f}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{3}2^{k}=2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}=2+4+8+16=30\\ &\textrm{g}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}\frac{1}{3^{k}}=\displaystyle \frac{1}{3^{1}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}} +\frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}=\displaystyle \frac{27+9+3+1}{81}=\frac{40}{81}\\ &\textrm{h}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left ( k^{2}+1 \right )=\cdots +\cdots +\cdots +\cdots +\cdots \\ &\textrm{i}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{4}5\left ( \frac{2}{3} \right )^{k}=\cdots +\cdots +\cdots +\cdots \\ &\textrm{j}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{5}\left ( k^{2}+2k-3 \right )=\cdots +\cdots +\cdots +\cdots +\cdots \\ \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Nyatakanlah penjumlahan berikut dengan notasi sigma}\\ &\textrm{a}.\quad 2+4+8+16+32+64\\ &\textrm{b}.\quad 2+6+18+54+162\\ &\textrm{c}.\quad 15+24+35+48\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{7}+\frac{16}{9}+\frac{32}{11}\\ &\textrm{e}.\quad ab+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{4}b^{4} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad 2+4+8+16+32+64=\displaystyle \sum_{k=1}^{6}2^{k}\\ &\textrm{b}.\quad 2+6+18+54+162=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}2.3^{k-1}\\ &\textrm{c}.\quad 15+24+35+48=\displaystyle \sum_{k=1}^{4}\left ( k^{2}+6k+8 \right )\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{8}{7}+\frac{16}{9}+\frac{32}{11}=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}\frac{2^{k}}{(2k+1)}\\ &\textrm{e}.\quad ab+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+a^{4}b^{4}=\displaystyle \sum_{k=1}^{4}(ab)^{k} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Dengan menggunakan kaidah notasi sigma, tunjukkan bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{6}(2k+3)=2\sum_{k=1}^{6}k+18\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=3}^{8}(k+3)=\sum_{k=1}^{6}k+30\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=2}^{5}\left ( 2k^{2}+3k+3 \right )=2\sum_{k=1}^{4}k^{2}+7\sum_{k=1}^{4}k+32\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{k=0}^{5}k^{2}=\sum_{k=1}^{6}k^{2}-2\sum_{k=1}^{6}k+6\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=3}^{6}\left ( k^{2}+2k-3 \right )=\sum_{k=1}^{6}k^{2}+6\sum_{k=1}^{4}+20 \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{ll}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{6}(2k+3)=\sum_{k=1}^{6}2k+\sum_{k=1}^{6}3=\sum_{k=1}^{6}2k+6.3=2\sum_{k=1}^{6}k+18\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=3}^{8}(k+3)=\sum_{k=3-2}^{8-2}\left ( (k+2)+3 \right )=\sum_{k=1}^{6}(k+5)=\sum_{k=1}^{6}k+\sum_{k=1}^{6}5=\sum_{k=1}^{6}k+6.5=\sum_{k=1}^{6}k+30\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=2}^{5}\left ( 2k^{2}+3k+3 \right )=\sum_{k=2-1}^{5-1}\left ( 2(k+1)^{2}+3(k+1)+3 \right )=\cdots \\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{k=0}^{5}k^{2}=\sum_{k=0+1}^{5+1}(k-1)^{2}=\cdots \\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=3}^{6}\left ( k^{2}+2k-3 \right )=\cdots \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Buktikanlah bahwa}\\ &\textrm{a}.\quad \displaystyle \sum_{k=6}^{12}k^{2}=\sum_{k=1}^{7}k^{2}+10\sum_{k=1}^{7}k+175\\ &\textrm{b}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3k-1)^{2}=9\sum_{k=1}^{n}k^{2}-6\sum_{k=1}^{n}k+n\\ &\textrm{c}.\quad \displaystyle \sum_{k=m}^{n}a_{k}=\sum_{k=m+p}^{n+p}a_{k-p}\\ &\textrm{d}.\quad \displaystyle \sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}-\sum_{i=1}^{m-1}a_{i}\\ &\textrm{e}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}=\sum_{k=2}^{n+2}a_{k-1}\\ &\textrm{f}.\quad \displaystyle \sum_{k=1}^{n-5}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=(n-5)+1}^{n}a_{k} \end{array}.

C. Induksi Matematika 

Silahkan menuju ke sini.

Perhatikanlah susunan bilangan berikut

\begin{aligned}1&=1^{2}\\ 1+3&=2^{2}\\ 1+3+5&=3^{2}\\ 1+3+5+7&=4^{2}\\ 1+3+5+7+9&=5^{2}\\ 1+3+5+7+9+11&=6^{2}\\ 1+3+5+7+9+11+13&=7^{2}\\ \vdots &\\ 1+3+5+7+9+\cdots +(2n-1)&=n^{2},\qquad untuk\: \: n\in \mathbb{N} \end{aligned}.

Hal di atas adalah langkah induksi, di mana disebutkan terlebih dahulu hal-hal khusus kemudian baru ditarik ke hal yang umum. Untuk selanjutnya cara pembuktian induksi tersebut dalam matematika lebih dikenal dengan istilah Induksi Matematika.

Berikut langkah untuk Induksi Matematika, yaitu

\begin{tabular}{|lcl|}\hline Langkah&1&:\: Rumus dibuktikan benar untuk n = 1.\\ Langkah&2&:\: Rumus diasumsikan berlaku untuk n = k. selanjutnya rumus dibuktikan benar untuk n = k+1.\\ Kesimpulan&&:\: Rumus berlaku untuk setiap n bilangan asli (sesuaikan dengan keadaan).\\\hline \end{tabular}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Buktikanlah dengan induksi matematika bahwa untuk \textit{n} bilangan asli, berlaku}\\ &\textrm{a}.\quad 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}\\ &\textrm{b}.\quad 1+5+9+\cdots +(4n-3)=n(2n-1)\\ &\textrm{c}.\quad 1+4++7+\cdots +(3n-2)=\displaystyle \frac{n(3n-1)}{2}\\ &\textrm{d}.\quad 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ &\textrm{e}.\quad 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left ( \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \right )^{2}\\ &\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\cdots +\frac{1}{n.(n+1)}=\displaystyle \frac{n}{n+1}\\ &\textrm{g}.\quad \left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )+\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{3}+\cdots +\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{n}=1-\left ( \displaystyle \frac{1}{2} \right )^{n}\\ &\textrm{h}.\quad \displaystyle \underset{n}{\underbrace{\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}}=2\cos \displaystyle \frac{\pi }{2^{n+1}}\\ &\textrm{i}.\quad 4^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: 3\\ &\textrm{j}.\quad 8^{n}-1\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: 7\\ &\textrm{k}.\quad 5^{n}-2^{n}\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: 3\\ &\textrm{l}.\quad 6^{n}-2^{n}\: \: \textrm{habis dibagi}\: \: 4\\ \end{array}.

Bukti:

Hanya untuk No. 5. a

\begin{array}{lll}\\ \textrm{Langkah 1}&:&\textrm{Rumus benar untuk \textit{n} = 1 , karena}\: (2.1-1)=1^{2}\\ \textrm{Langkah 2}&:&\textrm{Misalkan rumus berlaku untuk \textit{n = k} , maka}\\ &&1+3+5+\cdots +(2k-1)=k^{2}.\\ &&\textrm{Akan ditunjukkan rumus berlaku untuk \textit{n = k}+1, yaitu}\\ &&1+3+5+\cdots +(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &&\underset{\displaystyle k^{2}}{\underbrace{1+3+5+\cdots +(2k-1)}}+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &&\qquad\qquad\quad k^{2}+(2(k+1)-1)=(k+1)^{2}\\ &&\qquad\qquad\quad k^{2}+(2k+2-1)=(k+1)^{2}\\ &&\qquad\qquad\quad k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}\\ &&\qquad\qquad\quad (k+1)^{2}=(k+1)^{2},\qquad \left (\textrm{ruas kiri = ruas kanan} \right )\\ &&\textrm{Karena ruas kiri = ruas kanan, maka rumus berlaku untuk \textit{n = k}}+1\\ \textrm{Kesimpulan}&:&\textrm{Jadi},\: \: 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2},\: \: \textrm{berlaku untuk}\: \: \forall \: n\in \mathbb{N}. \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{LATIHAN SOAL}}}}.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s