bentuk pangkat akar dan logaritma, Materi kelas X, Materi kelas X semester I, Uncategorized

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Bentuk Pangkat

  1. a^{n}= \overset{\underbrace{a.a.a...a}}{n} ,dibaca ” (a pangkat n)”
    dengan a disebut sebagai basis/bilangan pokok, sedangkan n disebut sebagai pangkat
    Misalkan 3^{4}=3.3.3.3=81
  2. \left (\frac{1}{3} \right )^{4}=\left ( \frac{1}{3} \right ).\left ( \frac{1}{3} \right ).\left ( \frac{1}{3} \right ).\left ( \frac{1}{3} \right )=\frac{1}{81}.
  3. Anda harus menghindari 0^{0} karena tidak terdefinisikan. Menurut definisi  a^{0}=1  apabila  a\neq o
  4. a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
  5. Sifat-sifat operasi aljabar pada bilangan bulat positif untuk perpangkatan, antara lain
        • a^{m}.a^{n}=a^{m+n}
        • a^{m}:a^{n}=a^{m-n}
        • \left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m.n}
        • \left ( ab \right )^{n}=a^{n}.b^{n}
        • \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}

Beberapa persamaan atau hal penting lainnya adalah:

  1. (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^2
  2. (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}
  3. \left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

2^{6} x 2^{4} x 2^{7} = 2^{6+4+7}=2^{17}

Contoh 2

2^{5} x 3^{5} x 7^{5} = \left ( 2 . 3 . 7 \right )^{5}=\left ( 42 \right )^{5}

Contoh 3

\frac{a^{3}.a^{7}.a^{6}}{a^{9}}=\frac{a^{3+7+6}}{a^{9}}=\frac{a^{16}}{a^{9}}=a^{16-9}=a^{7}

Contoh 4

Sederhanakanlah menjadi bilangan pangkat positif

\frac{3^{7}.7^{3}.2}{\left ( 42 \right )^{3}}=\frac{2^{1}.3^{7}.7^{3}}{\left ( 2.3.7 \right )^{3}}=\frac{2^{1}.3^{7}.7^{3}}{2^{3}.3^{3}.7^{3}}=2^{1-3}.3^{7-3}.7^{3-3}=2^{-2}.3^{4}.7^{0}=\frac{1}{2^{2}}.3^{4}.1=\frac{3^{4}}{2^{2}}

Contoh 5

Sederhanakanlah bentuk berikut!

\frac{2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}}{7}=\frac{1.2^{2013}+2^{1}.2^{2013}+2^{2}.2^{2013}}{7}=\frac{\left ( 1+2+4 \right ).2^{2013}}{7}=\frac{7.2^{2013}}{7}=2^{2013}

Latihan Soal

Sederhanakanlah

1. 3^{5} x 3^{9} x 3^{17}
2. 2^{6} x 3^{7} x 4^{7}
3. \frac{2^{6}.3^{6}.4^{2}}{12^{2}}
4. \frac{\left ( -5 \right )^{7}.25^{2}}{125}

5. (UN MAT IPA 2014) Bentuk sederhana dari  \frac{\left ( 2p^{-4}q^{3} \right )^{-2}}{\left ( 2^{2}p^{-1}q^{2} \right )^{-2}}
adalah ….

6. Jika diketahui 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left ( \frac{n.\left ( n+1 \right )}{2} \right )^{2} , maka 1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+\left ( 2n-1 \right )^{3}=....

7. Jika 2^{a}=3^{b}=6^{c}, nyatakan c dalam a dan b

8. Tentukanlah nilai dari \frac{\left ( 2^{n+2} \right )^{2}-2^{2}.2^{2n}}{2^{2n}.2^{n+2}}

 

Bentuk Akar

Bentuk akar di sini adalah kebalikan dari bentuk perpangkatan dari suatu bilangan. Untuk \sqrt{4} , \sqrt{25} nilainya dengan tepat kita dapat menentukannya, tetapi untuk \sqrt{3} , \sqrt{8}  tidaklah demikian karena bilangan-bilangan tersebut tidak dapat ditentukan nilai bulatnya atau tidak dapat dijadikan dalam bentuk pecahan. Bilangan-bilangan yang demikian yang tidak dapat ditentukan nilai bulat atau pecahannya tersebut selanjutnya dinamakan bilangan irasional.

Bilangan Rasional(pecahan) adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  \frac{a}{b}  dengan a,b  \in bilangan bulat serta b\neq 0. Sehingga untuk bilangan irasional berlaku sebaliknya dan bentuk akar termasuk di dalamnya

Perhatikan bahwa:

  1. a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}
  2. a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}
  3. a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a^{1}}=\sqrt{a}

Sifat-sifat operasi aljabar pada bentuk akar

      • a\sqrt[n]{c}+b\sqrt[n]{c}=\left ( a+b \right )\sqrt[n]{c}
      • a\sqrt[n]{c}-b\sqrt[n]{c}=\left ( a-b \right )\sqrt[n]{c}
      • \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}
      • \sqrt[n]{a^{n}}=a
      • a\sqrt[n]{c} x b\sqrt[n]{d} = ab\sqrt[n]{cd}
      • \frac{a\sqrt[n]{c}}{b\sqrt[n]{d}}=\frac{a}{b}.\sqrt[n]{\frac{c}{d}}
      • \sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
      • \sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}

 

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Perhatikanlah cara merasionalkan penyebut

  • \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}

Merasionalkan dengan bantuan bentuk sekawan, misalkan bentuk a+\sqrt{b} maka bentuk sekawannya adalah a-\sqrt{b}. Tujuannya adalah menghilangkan bentuk akar pada bagian penyebut sehingga kita dapat mengarahkannya pada bentuk

  • \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2}
  • untuk bentuk \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} Anda cukup mengalikannya dengan \sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}} sehingga menghasilkan bentuk a+b. Demikian juga sebaliknya

Selanjutnya, perhatikan bentuk berikut

  • \frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}.\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a-\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}
  • \frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}.\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c\left ( a+\sqrt{b} \right )}{a^{2}-b}
  • \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}{a-b}

Contoh Soal dan Pembahasan

Sederhanakanlah bentuk berikut ini

Contoh 1

6\sqrt{3}+10\sqrt{3}=\left ( 6+10 \right )\sqrt{3}=16\sqrt{3}

Contoh 2

5\sqrt{12}-4\sqrt{3}=5\sqrt{4.3}-4\sqrt{3}=10\sqrt{3}-4\sqrt{3}=6\sqrt{3}

Contoh 3

5\sqrt{3}+\sqrt{48}-2\sqrt{27}=5\sqrt{3}+\sqrt{16.3}-2\sqrt{9.3}=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6\sqrt{3}=\left ( 5+4-6 \right )\sqrt{3}=3\sqrt{3}

contoh 4

\left ( 6\sqrt{2}+\sqrt{5} \right )\left ( \sqrt{2}-3\sqrt{5} \right )=\left ( 6\sqrt{2}.\sqrt{2} \right )-\left ( 6\sqrt{2}.3\sqrt{5} \right )+\sqrt{5}.\sqrt{2}-\left ( \sqrt{5}.3\sqrt{5} \right )=12-18\sqrt{10}+\sqrt{10}-15=-3-17\sqrt{10}=-\left ( 3+17\sqrt{10} \right )

contoh 5

\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2

Contoh 6

\frac{2\sqrt{3}.\sqrt{24}}{\sqrt{7}.3\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{72}}{3\sqrt{98}}=\frac{2.\sqrt{36}.\sqrt{2}}{3.\sqrt{49}.\sqrt{2}}=\frac{2.6}{3.7}=\frac{4}{7}

Contoh 7

  1. \sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{\left ( 5+2 \right )+2\sqrt{5.2}}=\sqrt{\left ( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}
  2. \sqrt{11+4\sqrt{6}}=\sqrt{11+2.2.\sqrt{6}}=\sqrt{11+2\sqrt{24}}=\sqrt{\left ( 8+3 \right )+2\sqrt{8.3}}=\sqrt{\left ( \sqrt{8}+\sqrt{3} \right )^{2}}=\sqrt{8}+\sqrt{3}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}
  3. \sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{\left ( 3+2-2\sqrt{3.2} \right )}=\sqrt{\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, bolehkah jawaban akhir ditulis dengan \sqrt{2}-\sqrt{3} ?

Contoh 8

Rasionalkanlah penyebut dari pecahan berikut

  1. \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}
  2. \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt[3]{5}}.\frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}}=\frac{\sqrt{2}.\sqrt[3]{25}}{2.5}=\frac{1}{10}.\sqrt{2}.\sqrt[3]{25}
  3. \frac{2}{3-\sqrt{2}}=\frac{2}{3-\sqrt{2}}.\frac{3+\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{2}{7}.\left ( 3+\sqrt{2} \right )

Latihan Soal

Sederhanakanlah bentuk berikut

  1. 2\sqrt{12}-5\sqrt{3}
  2. \sqrt{96}-3\sqrt{24}
  3. \sqrt{20}-\sqrt{125}+3\sqrt{5}
  4. \sqrt{3}\left ( 4-2\sqrt{3} \right )
  5. 2\sqrt{5}\left ( \sqrt{5}+3\sqrt{2} \right )
  6. \left ( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right )
  7. \frac{\left ( 2+\sqrt{3} \right ).\left ( 2-\sqrt{3} \right )}{6}
  8. \sqrt{5+2\sqrt{6}}
  9. \sqrt{8+\sqrt{60}}
  10. \sqrt{18-2\sqrt{65}}
  11. Tunjukkan bahwa \sqrt{\left ( p+q+r \right )+2\left ( \sqrt{pq}+\sqrt{pr}+\sqrt{qr} \right )}=\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r}
  12. Tentukanlah luas persegi dengan sisi \left ( 2+\sqrt{3} \right ) cm
  13. Rasionalkanlah penyebut dari \frac{15}{\sqrt{48}}  dan \frac{\sqrt{24}+\sqrt{54}-\sqrt{150}}{\sqrt{96}}
  14. Sederhanan bentuk \frac{5}{\sqrt{7}}+\frac{3}{\sqrt{5}}  dan \frac{7}{2+\sqrt{8}}+\frac{11}{2-\sqrt{8}}
  15. Tentukan nilai x dan y agar persamaan \left ( x\sqrt{2}+y \right ).\left ( 3-\sqrt{2} \right )=-\sqrt{2}
  16. Jika \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=a+b\sqrt{6} , maka nilai dari a+b = ….

Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan. Misalkan kita kita diberikan persamaan 2^{x}=8, bagaimana kita mencari harga x ? kebanyakan kita langsung dapat menjawab 3, tetapi bagaimana jika bentuk persamaannya adalah 3^{x}=5 dapatkah kita dengan mudah menentukan berapa nilai x ?

Untuk mengatasi permasalahan di atas kita membutuhkan kebalikan(invers) dari perpangkatan tersebut, yaitu Logaritma yang selanjutnya disebut dengan “Log”

Perhatikan bahwa

Untuk a> 0 dan a\neq 1 ,

maka berlaku: {^{a}\textrm{log b}}=c \Leftrightarrow a^{c}=b

dengan:

a = bilangan pokok/basis

b = numerus (bilangan yang dicari nilai logaritmanya, b> 0 )
c = hasil logaritma

Sifat-sifat operasi aljabar pada logaritma

  1. a^{{^{a}}\textrm{log b}}=b
  2. ^{a}\log \left ( b.c \right )= ^{a}\log b+^{a}\log c
  3. ^{a}\log \frac{b}{c}=^{a}\log b-^{a}\log c
  4. ^{a}\log b=\frac{^{x}\log b}{^{x}\log a}
  5. ^{a}\log b=\frac{1}{^{b}\log a}
  6. ^{a}\log b=n\Rightarrow ^{b}\log a=\frac{1}{n}
  7. ^{a^{m}}\log b^{n}=\frac{n}{m}.^{a}\log b
  8. ^{a}\log b.^{b}\log c.^{c}\log d=^{a}\log d
  9. ^{a}\log a=1
  10. ^{a}\log 1=0
  11. ^{a}\log a^{n}=n
  12. \log b = ^{10}\log b

Ada beberapa yang perlu diketahui

  • \log 2 = 0,3010
  • \log 3 = 0,4771
  • \log 5 = 0,6990
  • \log 7 = 0,8451

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Nyatakan dalam logaritma

  • 2^{3}=8 \Leftrightarrow ^{2}\log 8=3
  • 2^{-3}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow ^{2}\log \frac{1}{8}=-3
  • 11^{2}=121\Leftrightarrow ^{11}\log 121=2

Contoh 2

Jika diketahui ^{2}\log 3=p, maka tentukan

  1. ^{8}\log 9
  2. ^{9}\log 4
  3. ^{2}\log \sqrt{27}
  4. ^{4}\log \frac{1}{72}

Jawab:

  1. ^{8}\log 9=^{2^{3}}\log 3^{2}=\frac{2}{3}.^{2}\log 3=\frac{2}{3}p
  2. ^{9}\log 4=\frac{1}{^{4}\log 9}=\frac{1}{^{2^{2}}\log 3^{2}}=\frac{1}{p}
  3. ^{2}\log \sqrt{27}=^{2}\log 3^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}.^{2}\log 3=\frac{3}{2}p
  4. ^{4}\log \frac{1}{72}=^{4}\log \frac{1}{8}.\frac{1}{9}=^{4}\log \frac{1}{8}+^{4}\log \frac{1}{9}=^{2^{2}}\log 2^{-3}+^{2^{2}}\log 3^{-2}=-\frac{3}{2}-p

Contoh 3

Sederhanakanlah  untuk ^{2}\log 8+^{3}\log 81-^{7}\log 1+^{2}\log 32

Jawab:

^{2}\log 8+^{3}\log 81-^{7}\log 1+^{2}\log 32=3+4-0+5=12

Contoh 4

(UN Mat IPA 2012) Jika diketahui  ^{5}\log 3=a  dan  ^{3}\log 4=b , maka nilai  ^{4}\log 15 = ….

Jawab:

^{4}\log 15=\frac{\log 15}{\log 4}=\frac{^{3}\log 15}{^{3}\log 4}=\frac{^{3}\log 3.5}{^{3}\log 4}=\frac{^{3}\log 3 +^{3}\log 5}{^{3}\log 4}=\frac{1+\frac{1}{a}}{b}=\frac{1+a}{ab}

Contoh 5

Jika  ^{2}\log (2x+3).^{25}\log 8=3 , maka nilai  x  yang memenuhi adalah ….

Jawab:

^{2}\log (2x+3).^{25}\log 8=^{25}\log 8.^{2}\log (2x+3)=^{5^{2}}\log 2^{3}.^{2}\log (2x+3)=\frac{3}{2}.^{5}\log 2.^{2}\log (2x+3)=\frac{3}{2}.^{5}\log (2x+3)=3

Sehingga

^{5}\log (2x+3)=2\Rightarrow 2x+3=5^{2}\Rightarrow 2x=25-3=22 \Rightarrow x=11

 

Soal Latihan

  1. Tentukanlah nilai dari a) \log 15, b) \log 18, c) \log 10,5, d) \log \frac{1}{7}, dan e) \log \frac{2}{3}
  2. (UN Mat IPA 2014) Nilai dari ^{2}\log 6+^{2}\log 4-^{2}\log 3=....
  3. Sederhanakanlah  ^{2}\log 4+^{2}\log 16-^{4}\log 64+^{2}\log \frac{1}{32}
  4. (UN Mat IPA 2014) Nilai dari  ^{3}\log 81+^{2}\log \frac{1}{32}-^{5}\log 5\sqrt{5}=....
  5. (UN Mat IPA 2014) Hasil dari \frac{^{\sqrt{2}}\log 4-^{5}\log 8.^{2}\log 25}{^{8}\log 14-^{8}\log 7}=....
  6. Carilah nilai x dari persamaan  ^{3}\log (4x+1)=4
  7. Sederhanakanlah  \log \sqrt{a}+\log \sqrt{b}-\frac{1}{2}\log ab
  8. Jika ^{2}\log 3=a dan ^{2}\log 5=b , maka nilai dari ^{25}\log 36=....
  9. Jika b=a^{4} dengan a,b> 0 , maka nilai dari ^{a}\log b-^{b}\log a=....
  10. (UM IKIP PGRI 2010) Tentukanlah nilai x dari persamaan  ^{2}\log .^{2}\log x=^{2}\log(6-^{2}\log x)+1
  11. Jika diketahui  ^{7}\log \frac{1}{x}=^{x}\log \frac{1}{y}=^{y}\log \frac{1}{7}, maka nilai 3x-2y=....
  12. (OSN Mat SMA Tk Kab 2014) Misalkan x,y,z> 1  dan w> 0. Jika ^{x}\log w=4 , ^{y}\log w=5 , dan  ^{xyz}\log w=2 , maka nilai dari ^{z}\log w=....
Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s