lingkaran sma, Materi kelas XI, materi kelas XI semester I, Uncategorized

Lingkaran

A. Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline &\multicolumn{3}{c|}{\textbf{Persamaan}}\\\cline{2-4} \raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{\textrm{Lingkaran}} &x^{2}+y^{2}=r^{2}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}&x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\\hline \textrm{Pusat}&(0,0)&(p,q)&\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\\hline \textrm{Jari-jari}&r&r&r=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Pesamaan garis}\\ &\textrm{singgung melalui}\\ &\textrm{titik}\: \: (x_{1},y_{1})\\ &\textrm{pada lingkaran} \end{aligned}&x_{1}x+y_{1}y=r^{2}&\begin{aligned}&(x_{1}-p)(x-p)\\ &\: +(y_{1}-q)(y-q)=r^{2} \end{aligned}&\begin{aligned}&x_{1}x+y_{1}y\\ &\: +\displaystyle \frac{A}{2}(x_{1}+x)\\ &\: +\displaystyle \frac{B}{2}(y_{1}+y)+C=0 \end{aligned}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Persamaan garis}\\ &\textrm{singgung dengan}\\ &\textrm{gradien}\: \: m \end{aligned}&\begin{aligned}&y=mx\\ &\: \pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}&\begin{aligned}&(y-q)=m(x-a)\\ &\: \pm r\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}&\begin{aligned}&y+\frac{1}{2}B=m(x+\frac{1}{2}A)\\ &\: \pm \sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}\left ( A^{2}+B^{2} \right )-C}.\sqrt{m^{2}+1} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

B. Posisi Titik dan Garis terhadap Lingkaran

\begin{array}{|l|l|l|c|c|}\hline &&&&k=\textrm{Kuasa titik}\: \: M(a,b)\\ \textrm{Titik}&\textrm{Posisi}&x^{2}+y^{2}=r^{2}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}&\textrm{terhadap lingkaran}\\ &&&&x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\\\hline &\textrm{dalam}&a^{2}+b^{2}<r^{2}&(a-p)^{2}+(a-q)^{2}<r^{2}&k=a^{2}+b^{2}+Aa+Bb+C<0\\\cline{2-5} \textrm{M(a,b)}&\textrm{pada}&a^{2}+b^{2}=r^{2}&(a-p)^{2}+(a-q)^{2}=r^{2}&k=a^{2}+b^{2}+Aa+Bb+C=0\\\cline{2-5} &\textrm{Luar}&a^{2}+b^{2}>r^{2}&(a-p)^{2}+(a-q)^{2}>r^{2}&k=a^{2}+b^{2}+Aa+Bb+C>0\\\hline \textrm{Garis}&\multicolumn{4}{c|}{\begin{cases} \bullet &\textrm{memotong lingkaran di dua titik}\: \: (D>0)\: \textrm{ada garis dan titik polar} \\ \bullet &\textrm{menyinggung lingkaran}\: \: (D=0) \\ \bullet &\textrm{tidak memotong ataupun menyinggung}\: \: (D<0) \end{cases}}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Jarak Titik}\: \: M(a,b)\: \: \textrm{terhadap lingkaran berpusat di}\: \: P(p,q)}&\left | MP \right |=r=\left | \displaystyle \frac{Ap+Bq+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \right |\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Sebuah lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat}.\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{Gambarlah lingkaran (pada soal a.) pada kertas grafiks}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{Lukislah titik-titik dari},\: A(2,3),\: B(4,3),\: \: \textrm{dan}\: \: C(3,6).\\ &\textrm{d}.\quad \textrm{Nyatakan kedudukan titik-titik}\: A,\: B,\: \textrm{dan}\: C\: \textrm{terhadap lingkaran. Di dalam, pada,}\\ &\quad\: \: \: \, \textrm{atau beradakah di luar lingkaran}\end{array}.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut!

360

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{a}.&\textrm{Pusat lingkaran}&\textrm{b}.&\textrm{Gambar pada kertas grafik}\\\cline{2-2}\cline{4-4} &\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}=5^{2}\\ &\qquad\qquad \updownarrow\\ &x^{2}+y^{2}=25\\ &\textrm{atau}\\ &L\equiv \left \{ (x,y)|x^{2}+y^{2}=25 \right \} \end{aligned}&&\quad\qquad \textrm{Perhatikanlah gambar di atas}\\\hline \textrm{c}.&\textrm{Titik-titik}\: \: A,\: B,\: \textrm{dan}\: \: C&\textrm{d}.&\textrm{Kedudukan titik-titik}\: \: A,\: B,\: \textrm{dan}\: \: C\\\cline{2-2}\cline{4-4} & \textrm{perhatikan gambar di atas}&&\begin{matrix} \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(2,3)\: \textrm{berada di dalam lingkaran}\\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(4,3)\: \textrm{berada pada lingkaran}\: \: \: \: \: \: \: \\ \bullet \quad \textrm{Titik}\: \: A(3,6)\: \textrm{berada di luar lingkaran}\: \: \: \, \end{matrix}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di pangkal koordinat}.\\ &\textrm{dan melalui titik}\: \: P(5,-3)\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{pusat lingkaran di pangkal koordinat}\: \: O(0,0)\\ \textrm{serta\, ling}&\textrm{karan melalui titik}\: \: P(5,-3),\: \textrm{maka}\\ r&=\sqrt{(x_{p}-0)^{2}+(y_{p}-0)^{2}}\\ &=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}}\\ &=\sqrt{25+9}\\ &=\sqrt{34}\\ \textrm{Sehingga }&,\: \textrm{persamaan lingkarannya adalah}\\ L&\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=34 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di pangkal koordinat}.\\ &\textrm{dan menyinggung}\: \: k\equiv 2x+y-5=0\end{array}.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut ini

361          menjadi

361

\begin{aligned}\textrm{Diketahui}&\: \textrm{bahwa titik}\: \: O\: \: \textrm{ke garis}\: \: k\: \: \textrm{adalah}\\ r=OA&=\displaystyle \left |\frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\\ &=\displaystyle \left | \frac{2(0)+(0)-5}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} \right |\\ &=\displaystyle \left | \frac{-5}{\sqrt{5}} \right |\\ &=\left | -\sqrt{5} \right |\\ &=-(-\sqrt{5})=\sqrt{5}\qquad \textrm{(ingat, nilai mutlak bilangan negatif adalah bilngan positif)}\end{aligned}\\\\\\ \textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}:\\ \qquad L\equiv x^{2}+y^{2}=r^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=5.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran berikut?}\\ &\textrm{a}.\quad L\equiv (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9\\ &\textrm{b}.\quad L\equiv (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9\\ &\textrm{c}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\\ &\textrm{d}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9\\ &\textrm{e}.\quad L\equiv (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=9\\ &\textrm{f}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\\ &\textrm{g}.\quad L\equiv (x-1)^{2}+y^{2}=27\\ &\textrm{h}.\quad L\equiv x^{2}+(y-1)^{2}=27 \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ L\equiv (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=9,\: \: \textrm{pusat di}\: \: \textrm{dan jari-jarinya adalah}\: \: \sqrt{9}=3\\\\ \textrm{Soal yang belum dibahas silahkan diselesaikan sendiri sebagai latihan}.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di}\: \: A(2,-1)\: \: \textrm{dan menginggung garis}\\ &4y+3x-12=0\: \: \textrm{di titik}\: \: P\end{array}.

Jawab:

Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut!

362

Sehingga

\begin{aligned}&r=AP=\left | \frac{3(2)+4(1)-12}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right |=\left | \frac{-10}{5} \right |=\left | -2 \right |=2\\\\ &\textrm{Sehingga persamaan lingkarannya adalah}\: \: L\equiv (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=4 \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 6.&\textrm{Tentukanlah pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran}\: \: L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\end{array} \\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}&\textrm{Persamaan lingkaran}\: \: L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x+3y-\displaystyle \frac{3}{2}=0\begin{cases} A & =-1 \\ B & =3 \\ C & =-\displaystyle \frac{3}{2} \end{cases}\\ &\textrm{maka}\: \: \begin{cases} \textrm{Pusat} & =\left ( -\displaystyle \frac{-1}{2},- \frac{3}{2}\right )=\left ( \displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2} \right ) \\ \textrm{Jari-jari} & =r=\sqrt{\displaystyle \frac{(-1)^{2}}{4}+\frac{3^{2}}{4}-\left ( -\frac{3}{2} \right )}=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{4}=2 \end{cases}\\ &\textrm{Jadi, lingkaran}\: \: 2x^{2}+2y^{2}-2x+6y-3=0\: \: \textrm{berpusat di} \: \: \left ( \displaystyle \frac{1}{2},-\frac{3}{2} \right )\: \: \textrm{dan berjari-jari}\: \: 2\end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 7.&\textrm{Diketahui lingkaran}\: \: L\equiv 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: (-2,1).\\ &\textrm{Tentukanlah persamaan linkaran baru yang kosentris(sepusat) dan panjang jari-jarinya}\\ &\textrm{dua kali panjang jari-jari lingkaran semula?}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \textrm{Lingkaran semula}&\textrm{Melalui titik}&\textrm{Persamaan lingkaran menjadi}&\textrm{Pusat dan jari-jari}\\\hline 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0&(-2,1)&&\\\cline{1-2} \multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}\textrm{Proses}&:\\ \: \: &2(-2)^{2}+2(1)^{2}-4(-2)+3p(1)-30=0\\ \Leftrightarrow \: \: &8+2+8+3p-30=0\\ \Leftrightarrow \: \: &3p=12\\ \Leftrightarrow \: \: &p=4 \end{aligned}}&\begin{aligned}&2x^{2}+2y^{2}-4x+12y-30=0\\ &\Leftrightarrow \: \: x^{2}+y^{2}-2x+6y-15=0\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\begin{cases} \textrm{Pusat}: \\ \left ( -\displaystyle \frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\ =\left ( -\displaystyle \frac{1}{2}.(-2),-\frac{1}{2},6 \right )\\ =(1,-3) \\\\ \textrm{Jari-jari }:\\ \begin{aligned}r&=\sqrt{\left ( -\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( -\frac{1}{2}B \right )-C}\\ &=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}-(-15)}\\ &=\sqrt{1+9+15}=5 \end{aligned} \end{cases} \\ & \end{aligned}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Persamaan}\: &\textrm{lingkaran baru }\\ &\textrm{dengan pusat}\: \: (1,-3)\: \: \textrm{dan jari-jari}\: \: r_{\textrm{baru}}=2r=2.5=10\\ &(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=(10)^{2}\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}-2x+1+y^{2}+6x+9=100\\ \Leftrightarrow \: \: &x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0\end{aligned}}\\\hline \end{array}.

Berikut gambar sebagai ilustrasinya:

363

\begin{array}{ll}\\ 8.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: p\: \: \textrm{supaya lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0 \\ &\textrm{a}.\quad \textrm{menyinggung sumbu x}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{memotong sumbu x di dua titik}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|l|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}\\ \bullet \: \: \textrm{Lingkaran}:&\\ &x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0\\ \textrm{terhadap }\: \: &\textrm{sumbu x},\: \: \textrm{dan}\: \: y=0\\ \textrm{adalah gar}&\textrm{is yang sejajar sumbu x, maka}\\ y=0\Rightarrow \: \: &x^{2}+y^{2}-px-10y+4=0\\ \Rightarrow \: \: &x^{2}-px+4=0\\ & \end{aligned}}\\\hline \textrm{Menyinggung}&\textrm{memotong}&\textrm{Tidak keduanya}\\\hline \begin{aligned}D&= b^{2}-4ac=0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-4.1.4=0\\ &\Leftrightarrow p^{2}=16\\ &\Leftrightarrow p=\pm 4\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}D&>0\\ &\Leftrightarrow b^{2}-4ac>0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-16>0\\ &\Leftrightarrow (p+4)(p-4)>0\\ &\therefore \quad p<-4\: \: \textrm{atau}\: \: p>4 \end{aligned}&\begin{aligned}D&<0\\ &\Leftrightarrow b^{2}-4ac<0\\ &\Leftrightarrow p^{2}-16<0\\ &\Leftrightarrow (p+4)(p-4)<0\\ &\therefore \quad -4<p<4 \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 9.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: \: a\: \: \textrm{supaya lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=1\: \: \textrm{dan garis}\: \: y=ax+2 \\ &\textrm{a}.\quad \textrm{bersinggungan}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{berpotongan}\\ &\textrm{c}.\quad \textrm{tidak berpotongan maupun bersinggungan} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}&\textrm{di sini yang kita bahas adalah yang poin b, yaitu untuk}\: \: y=ax+2,\: \: \textrm{maka}\\ &x^{2}+y^{2}=1\\ &x^{2}+(ax+2)^{2}=1\\ &x^{2}+a^{2}x^{2}+4ax+4=1\\ &(1+a^{2})x^{2}+4ax+3=0\\ &\textrm{syarat berpotongan}\: \: D=b^{2}-4ac\geq 0\: \: (\textrm{artinya bersinggungan sekaligus berpotongan di 2 titik})\\ &(4a)^{2}-4(1+a^{2})(3)\geq 0\\ &16a^{2}-12a^{2}-12\geq 0\\ &4a^{2}-12\geq 0\\ &a^{2}-3\geq 0\\ &(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\geq 0\\ \therefore \: \: \: \: &a\leq -\sqrt{3}\: \: \textrm{atau}\: \: a\geq \sqrt{3} \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=12\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: P(0,4). \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Persamaan lingkaran}&\textrm{Persamaan garis singgung di titik}\: \: (x_{1},y_{1})&\textrm{Titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{pada lingkaran}\\\hline x^{2}+y^{2}=12&\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=12\\ xx+yy&=12\\ x_{1}x+y_{1}y&=12\\ \textrm{garis ini melalui}&\: \: \textrm{titik}\\ P(0,4)&, \textrm{maka}\\ x_{1}.0+y_{1}.4&=12\\ y_{1}&=3\: ......\textcircled{1}\end{aligned}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\: ......\textcircled{2}\\\cline{2-3} &\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Dari persamaan}&\: \: \textcircled{1}\: \: \textrm{dan}\: \: \textcircled{2}\: \: \textrm{diperoleh}\\ &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\\ y_{1}=3\Rightarrow \: \: &x_{1}^{2}+(3)^{2}=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}+9=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}=3\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}=\pm \sqrt{3}\\ \textrm{Sehingga persa}&\textrm{maan garis singgungnya}\left ( x_{1}x+y_{1}y=12 \right )\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{cases} \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(\sqrt{3},3)\: \: \, \, \Rightarrow \sqrt{3}x+3y=12\\ \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(-\sqrt{3},3)\Rightarrow -\sqrt{3}x+3y=12 \end{cases}\\ &\end{aligned}}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 10.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran}\: \: x^{2}+y^{2}=12\: \: \textrm{dan melalui titik}\: \: P(0,4). \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline \textrm{Persamaan lingkaran}&\textrm{Persamaan garis singgung di titik}\: \: (x_{1},y_{1})&\textrm{Titik}\: \: (x_{1},y_{1})\: \: \textrm{pada lingkaran}\\\hline &\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=12\\ xx+yy&=12\\ x_{1}x+y_{1}y&=12\\ \textrm{garis ini melalui}&\: \: \textrm{titik}\\ P(0,4)&, \textrm{maka}\\ x_{1}.0+y_{1}.4&=12\\ y_{1}&=3\: ......\textcircled{1}\end{aligned}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\: ......\textcircled{2}\\\cline{2-3} x^{2}+y^{2}=12&\multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}\textrm{Dari persamaan}&\: \: \textcircled{1}\: \: \textrm{dan}\: \: \textcircled{2}\: \: \textrm{diperoleh}\\ &x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=12\\ y_{1}=3\Rightarrow \: \: &x_{1}^{2}+(3)^{2}=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}+9=12\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}^{2}=3\\ \Leftrightarrow \: \: &x_{1}=\pm \sqrt{3}\\ \textrm{Sehingga persa}&\textrm{maan garis singgungnya}\left ( x_{1}x+y_{1}y=12 \right )\: \: \textrm{adalah}:\\ &\begin{cases} \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(\sqrt{3},3)\: \: \, \, \Rightarrow \sqrt{3}x+3y=12\\ \textrm{di titik} & (x_{1},y_{1})=(-\sqrt{3},3)\Rightarrow -\sqrt{3}x+3y=12 \end{cases}\\ &\end{aligned}}\\\hline \end{array}.

Berikut simulasi gambarnya

364

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s