Logika Matematika, Materi kelas X, Materi kelas X semester II, Uncategorized

Logika Matematika

1. LOGIKA MATEMATIKA

1.1. Pernyataan, Bukan Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan Nilai Kebenaran

Perhatikan ilustrasi berikut

Kalimat=\left\{\begin{matrix} Berarti\left\{\begin{matrix} Pernyataan\left\{\begin{matrix} Pernyataan(Proposisi)\\\\ Kalimat\: faktual \end{matrix}\right.\\\\\\\\\\\\ Bukan\: Pernyataan\left\{\begin{matrix} 1.\: Kalimat\: Terbuka\\ 2.\: Kalimat\: Perintah\\ 3.\: Kalimat\: Ucapan\: Selamat\\ 4.\: Kalimat\: Pertanyaan\\ 5.\: Doa\\ 6.\: Harapan\\ 7.\: Kalimat\: Larangan\setminus himbauan\\ 8.\: Ada\: Kata\: Sifat \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Tak\: Berarti \end{matrix}\right..

\begin{tabular}{|p{4.0cm}|p{8.0cm}|}\hline Istilah&Definisi\\\hline Pernyataan(Proposisi)&Suatu kalimat yang menyatakan sesuatu yang bernilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus keduanya\\\hline Kalimat Terbuka&Suatu kalimat bukan pernyataan yang nilai kebenarannya belum dapat ditentukan\\\hline \end{tabular}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Contoh Kalimat Berarti(Pernyataan)

  • “1+1=2”
  • “Sudut dalam sebuah segitiga adalah 180^{0}
  • “Jumlah hari dalam seminggu ada 7 hari”

2. Contoh Kalimat tak berarti

  • “Kursi bergoyang menangis”
  • “Matahari tersenyum kepadaku”
  • “Daun kelapa melambai-lambai kepadaku”

3. Contoh Kalimat Faktual(termasuk Pernyataan)

  • “Amin adalah siswa MA Futuhiyah Jeketro”
  • “Budi adalah karyawan PT.ABC di Semarang”
  • “Hari ini akan ada konser grup musik SLANK di alun-alun kota Purwodadi”

4. Contoh Kalimat Bukan Pernyataan

  • 2x+5=1000000
  • “Kerjakan tugasmu, Budi!”
  • “Selamat ulang tahun Aziz”
  • “Apakah kamu sudah belajar Anton?”
  • “Ya Allah, tunjukkanlah jalan-Mu yang lurus”
  • “Semoga engaku panjang umur”
  • “Hati-ati di jalan”
  • “Mustofa wajahnya ganteng”

1.2. Notasi dan Nilai Kebenaran dari pernyataan

Suatu pernyataan dalam logika dinotasikan dengan satu huruf kecil   p,\: q,\: r,\: s,\:...dsb .

Misalkan ada sebuah pernyataan ” 2013+2=2015″ dan “Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180^{0}“. pernyataan-pernyataan tersebut dapat dituliskan kembali dengan notasi pernyataan sebagai  q\quad dan\quad s ini.

\begin{array}{ll}\\ q&:2013+2=2015\\ r&:Jumlah\: sudut\: dalam\: suatu\: segitiga\: adalah\: 180^{0} \end{array}.

Untuk nilai kebenaran dinotasikan dengan  ” \tau ” (dibaca: tau). Sehingga untuk nilai kebenaran dua pernyataan  q\quad dan\quad s  di atas adalah

\tau \left ( q \right )=Benar\quad dan\quad \tau \left ( s \right )=Benar.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

a. Apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan pernyataan, bukan pernyataan, dan kalimat terbuka? kemudian, tentukan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut!

  1. bentuk aljabar  a^{2}-2ab+b^{2}  habis dibagi a-b.
  2. Semoga hari ini cerah.
  3. Berapakah akar  \sqrt{2015} itu?
  4. x^{2}-3x-10=0,\quad x\: \in \: \mathbb{R}.
  5. Satu hari sama dengan  x  jam.
  6. Ceramah ilmiah kemaren cukup menarik.
  7. Semua siswa memakai seragam.
  8. Tujuh adalah bilangan prima.
  9. 2013+2014=2015.
  10. \displaystyle \left ( x-3 \right )^{2}=x^{2}-9.

b. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut

  1.  p : 2015 adalah bilangan prima
  2. q : Semarang terletak di Jawa tengah
  3. r : Jika suatu bilangan habis dibagi 4 , maka bilangan tersebut habis dibagi 2.
  4. s : 3+4+5+6+7+8+9+10 > 345

1.3 operasi logika

Perhatikan tabel berikut

\begin{array}{|c|l|c|}\hline& \multicolumn{2}{c|}{Operator}\\\cline{2-3}{NO} &Nama&Lambang\\\hline 1&Negasi(uner)&\sim \\\hline 2&Konjungsi(biner)&\wedge \\\hline 3&Disjungsi(biner)&\vee \\\hline 4&Implikasi(biner)&\rightarrow \\\hline 5&Biimplikasi(biner)&\leftrightarrow \\\hline \end{array}.

1.3.1 Kalimat Majmuk

Perhatikan juga tabel berikut

\begin{array}{|c|l|c|c|}\hline& \multicolumn{3}{c|}{Contoh\quad Aplikasi}\\\cline{2-4}{NO} &Nama&Bentuk&Negasi\\\hline 1&Konjungsi(biner)&p \wedge q &\sim p\: \vee \sim q\\\hline 2&Disjungsi(biner)&p \vee q &\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 3&Implikasi(biner)&p \rightarrow q&p\: \wedge \sim q \\\hline 4&Biimplikasi(biner)&p \leftrightarrow q& \left ( p\: \wedge \sim q \right )\vee \left ( q\: \wedge \sim p \right )\\\hline \end{array}.

1.3.2 Tabel kebenaran Kalimat majmuk

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&p\wedge q&p\vee q&p\rightarrow q&p\leftrightarrow q\\\hline B&B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S\\\hline S&B&S&B&B&S\\\hline S&S&S&S&B&B\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Tuliskan ingkaran atau negasi dari proposisi berikut, dan tentukanlah nilai kebenarannya.

\begin{array}{llrl}\\ a.&&p:&Sekarang\: hujan\: lebat\\ b.&&q:&Semua\: bilangan\: prima\: adalah\: ganjil\\ c.&&r:&Ada\: x\in \mathbb{R}\: yang\: memenuhi\: x^{2}-x-6=0\\ d.&&s:&Ada\: x\in \mathbb{R}\: yang\: memenuhi\: x^{2}-x-6< 0\\ e.&&t:&x^{2}> 0,x\in bilangan\: asli\\ f.&&u:&Semua\: kepala\: negara\: laki-laki\\ g.&&v:&Semua\: kucing\: berwarna\: putih \end{array}.

Jawab:

a. ~ p : Tidak benar bahwa sekarang hujan lebat .  Jika τ(p) = Benar (B), maka τ(~ p) = Salah(S).

b. ~ q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil. atau

~ q : Ada bilanga prima yang tidak ganjil.  Sehinga  τ(q) = S  dan τ( ~ q) = B.

c. ~ r : Tidak benar bahwa  ada  x\: \in \mathbb{R}  yang memenuhi  x^{2}-x-6=0.

dapat juga dikatakan   ~ r : Semua  x  bilangan real memenuhi  x^{2}-x-6\neq 0. Untuk  τ(r) = B dan  τ(~ r) = S.

Yang lain sebagai latihan

2. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\wedge q&p\: \wedge \sim q&\sim p\wedge \sim q\\\hline B&B&&&&&\\\hline B&S&&&&&\\\hline S&B&&&&&\\\hline S&S&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\wedge q&p\: \wedge \sim q&\sim p\wedge \sim q\\\hline B&B&S&S&S&S&S\\\hline B&S&S&B&S&B&S\\\hline S&B&B&S&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S&B\\\hline \end{array}.

3. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\vee q&p\: \vee \sim q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline B&B&&&&&\\\hline B&S&&&&&\\\hline S&B&&&&&\\\hline S&S&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\vee q&p\: \vee \sim q&\sim p\: \vee \sim q\\\hline B&B&S&S&B&B&S\\\hline B&S&S&B&S&B&B\\\hline S&B&B&S&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

4. Lengkapilah tabel kenenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\rightarrow q&p\: \rightarrow \sim q&\sim p\: \rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p&q\rightarrow p\\\hline B&B&&&&&&&\\\hline B&S&&&&&&&\\\hline S&B&&&&&&&\\\hline S&S&&&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\rightarrow q&p\: \rightarrow \sim q&\sim p\: \rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p&q\rightarrow p\\\hline B&B&S&S&B&S&B&B&B\\\hline B&S&S&B&B&B&B&S&B\\\hline S&B&B&S&B&B&S&B&S\\\hline S&S&B&B&S&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

5. Lengkapilah juga tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&\sim p\leftrightarrow q&p\: \leftrightarrow \sim q&\sim p\: \leftrightarrow \sim q&\sim q\leftrightarrow \sim p&q\leftrightarrow p\\\hline B&B&&&&&&&\\\hline B&S&&&&&&&\\\hline S&B&&&&&&&\\\hline S&S&&&&&&&\\\hline \end{array}.

Jawab:

Sebagai latihan

6. Tentukan nilai kebenaran dari bentuk konjungsi berikut

a. 5 adalah bilangan prima dan 7 adalah faktor dari 14

b. Persamaan  x^{2}-2x-8=0  memiliki dua akar real dan Semarang ibukota provinsi Jawa Timur

Jawab:

6a.  p : 5 adalah bilangan prima

q : 7 adalah faktor dari 14.

Karena  τ(p) = B , τ(q) = B , Sehingga  \tau \left ( p\wedge q \right )=B.

6b. p : Persamaan  x^{2}-2x-8=0  memiliki dua akar real.

q : Semarang ibukota provinsi Jawa Timur.

Karena  τ(p) = B , τ(q) = S , Sehingga  \tau \left ( p\wedge q \right )=S.

7. Tentukan  x  agar implikasi berikut benar.

2x=18\rightarrow 3+4=10.

Jawab:

\begin{aligned}p:\quad 2x&=18\\ x&=9\quad (B)\\ \\ q:\quad 3+4&=10\quad (S) \end{aligned}.

Karena q salah, maka agar supaya  p(x)\rightarrow q  bernilai benar , maka p harus salah juga (lihat tabel kebenaran implikasi baris ke-4). Jadi  x\neq 9.

8. Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan  p(x)\wedge q(x)  berikut bernilai benar.

a.  p(x):x^{2}-2x-35=0;   q(x): jumlah sudut suatu segitiga adalah  180^{0}.

b. p(x): 3 bilangan prima;   q(x):x^{2}-3x-18\geq 0.

Jawab:

8a. Karena τ(q) = B , maka supaya konjungsi ini bernilai benar, maka p juga harus merupakan pernyataan yang bernilai benar, yaitu nilai x harusnya adalah

\begin{aligned}x^{2}-2x-35&=0\\ \left ( x+5 \right )\left ( x-7 \right )&=0\\ x=-5\: atau\: x&=7 \end{aligned}.

8b. Sebagai latihan

\forall n\in \mathbb{N}

a. Tentukanlah negasi dari pernyataan-pernyataan berikut dan tentukanlah nilai kebenarannya

  1. \left ( 5\sqrt{3}+2\sqrt{7} \right )^{2}  senilai dengan 103+20\sqrt{21}
  2. \log 5+\log 2=1
  3. Persamaan 6x^{2}-12x+6=0  memiliki dua akar real dan sama
  4. Persamaan sumbu simetri fungsi  f(x)=x^{2}-2x-8  adalah  x=1.

b. Tentukanlah nilai kebenaran dari  proposisi berikut

  1. 3 adalah genap dan 4 adalah bilangan ganjil
  2. salah satu akar persamaan kuadrat  x^{2}-2x-24=0  adalah – 4 dan \sqrt{19}.\sqrt{106}=\sqrt{2014}.
  3. \displaystyle 2^{2^{2}}=8  dan  \displaystyle \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.
  4. \displaystyle \sqrt{2012}+\sqrt{3}=\sqrt{2015}  dan \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{5}.
  5. 4 adalah bilangan ganjil atau 5 adalah ganjil
  6. \displaystyle ^{2}\log \frac{1}{8}=-3  atau  \displaystyle \sqrt{5}.\sqrt{6}=\sqrt{11}
  7. 3^{4}=64  atau  4^{3}=64
  8. Jika  \log 5+\log 15=\log 20  maka  \log 20-\log 15=\log 5
  9. ^{2}\log 16=4  jika dan hanya jika  2^{4}=16.

c. Lengkapilah tabel kebenaran berikut!

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p& \sim q&p\wedge \sim q&\sim p\rightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&&&&\\\hline B&S&&&&\\\hline S&B&&&&\\\hline S&S&&&&\\\hline\end{array}.

d. Lengkapi juga tabel kebenaran berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&\sim p& \sim q&r\wedge \sim q&\sim p\rightarrow \left ( r\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&B&&&&\\\hline B&B&S&&&&\\\hline B&S&B&&&&\\\hline B&S&S&&&&\\\hline S&B&B&&&&\\\hline S&B&S&&&&\\\hline S&S&B&&&&\\\hline S&S&S&&&&\\\hline\end{array}.

e. Diketahui

\begin{tabular}{lp{6.0cm}}\\ p:&Ungaran hujan deras\\ q:&Semarang banjir \end{tabular}.

Nyatakanlah bentuk logika berikut dalam kalimat

  1. p\wedge q
  2. \sim p\wedge q
  3. p\wedge \sim q
  4. \sim p\wedge \sim q
  5. \sim \left ( p\wedge q \right )
  6. p\vee q
  7. \sim p\vee q
  8. p\vee \sim q
  9. \sim p\vee \sim q
  10. \sim \left ( p\vee q \right )
  11. p\rightarrow q
  12. \sim p\rightarrow q
  13. p\rightarrow \sim q
  14. \sim p\rightarrow \sim q
  15. \sim \left ( p\rightarrow q \right )
  16. p\leftrightarrow q
  17. \sim p\leftrightarrow q
  18. p\leftrightarrow \sim q
  19. \sim p\leftrightarrow \sim q
  20. \sim \left ( p\leftrightarrow q \right )

f.  Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan  p(x)\vee q(x)  bernilai benar

  1. p(x):3x^{2}-2x=5;  q(x):  8 adalah bilangan komposit
  2. p(x):3x-4< 5,x\in \left \{ 0,1,2,...,9 \right \}q(x):  7 adalah bilangan prima.

g.  Tentukanlah nilai  x  agar pernyataan p(x)\rightarrow q(x) bernilai benar

  1. p(x):x^{2}-5x-6\geq 0;  q(x): 3 adalah faktor dari 51.
  2. p(x):  Semarang adalah ibukota Jawa Timur;  \displaystyle q(x)=\: ^{2}\log\left ( x^{2}-3x-2 \right )=1.

1.3.3 Tautologi, kontradiksi serta Kontingensi

  • Tautologi yaitu jika suatu pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya adalah benar semuanya.
  • Kontradiksi (lawan dari Tautologi) berarti jika pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya salah semua.
  • Kontingensi yaitu jika sebuah pernyataan majmuk dimana nilai kebenarannya terdapat nilai benar dan salah.

1.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari suatu Implikasi

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{8}{|c|}{Bentuk}\\\hline &&&&Implikasi&Konvers&Invers&Kontraposisi\\\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&q\rightarrow p&\sim p\rightarrow \sim q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline B&B&S&S&B&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&B&B&S\\\hline S&B&B&S&B&S&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

1.4.1 Pernyataan Majmuk yang Ekuivalen

\begin{array}{|c|c|c|}\hline No&Pernyataan /Pernyataan\: Majmuk&Ekuivalen\\\hline 1&\sim \left ( \sim p \right )&p\\\hline 2&\sim \left ( p\wedge q \right )&\sim p\: \vee \sim q\\\hline 3&\sim \left ( p\vee q \right )&\sim p\: \wedge \sim q\\\hline 4&p\rightarrow q&\sim p\vee q\\\hline 5&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p\\\hline 6&\sim \left ( p\rightarrow q \right )&p\: \wedge \sim q\\\hline \end{array}.

1.5 Proposisi Berkuantor

Kuantor adalah suatu lambang yang pada kalimat terbuka yang menunjukkan jumlah/kuantitas yang menjadikannya menjadi sebuah pernyataan.

Ada 2 buah kuantor  \left\{\begin{matrix} Kuantor\quad Universal\\ \\ \\ Kuantor\quad Eksistensial \end{matrix}\right..

\begin{array}{|c|c|c|c|c|p{3.0cm}|}\hline No&Kuantor&Notasi&Pernyataan&ingkaran&Contoh\\\hline 1&Universal&"\forall"\quad (dibaca:Semua..../setiap...)&\forall (x),\: p(x)&\exists (x),\sim p(x)&p\: :\: "Semua\: bilangan\: prima\: ganjil." \\\hline 2&Eksistensial&"\exists "\quad (dibaca:ada..../beberapa....)&\exists (x),p(x)&\forall (x),\sim p(x)&p\: :\: "Ada\: bilangan\: prima\: yang\: genap." \\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Perhatikanlah tabel berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&\sim q\rightarrow \sim p&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( \sim q\rightarrow \sim p \right )\\\hline B&B&S&S&B&B&B\\\hline B&S&S&B&S&S&B\\\hline S&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

Kolom terakhir nilai kebenarannya pada tabel di atas adalah selalu benar yang selanjutnya disebut Tautologi.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&p\rightarrow q&p\wedge \sim q&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\\hline B&B&S&B&S&S\\\hline B&S&S&S&B&S\\\hline S&B&B&B&S&S\\\hline S&S&B&B&S&S\\\hline \end{array}.

Untuk tabel di atas pada kolom terakhir nilai kebenarannya selalu salah yang selanjutnya disebut sebagai kontradiksi.

Perhatikan pula untuk contoh tabel kebenaran kontingensi berikut

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim q&\sim p\vee q\\\hline B&B&S&B\\\hline B&S&S&S\\\hline S&B&B&B\\\hline S&B&B&B\\\hline \end{array}.

2. Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut!

\begin{tabular}{p{10.0cm}}\\ 1. Ada burung yang tidak dapat terbang\\ 2. Semua mahluk hidup adalah fana \end{tabular}.

Jawab:

Misalkan

\begin{tabular}{p{10.0cm}}\\ p: Ada burung yang tidak dapat terbang\\ q: Semua mahluk hidup adalah fana \end{tabular}.

\begin{array}{ll}\\ \sim p:&Semua\: burung\: terbang\\ \sim q:&Beberapa\: mahluk\: hidup\: tidak\: fana \end{array}.

3. Jika x\in \mathbb{R} , tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut:

\begin{array}{l}\\ a.\quad \left ( \exists x \right )\left ( 3x+2=1 \right )\\ b.\quad \left ( \forall x \right )\left ( 3x+2=11 \right )\\ \end{array}.

Jawab:

3a. Pernyataan tersebut benar, sebab ada  x\in \mathbb{R} , yaitu \displaystyle x=-\frac{1}{3}.

3b. Pernyataan tersebut bernilai salah, karna ada nilia x\in \mathbb{R}, tidak memenuhi, istilah lainnya tidak semua nilai x\in \mathbb{R} memenuhi. Nilai x\in \mathbb{R}  memenuhi hanya saat  \displaystyle x=3.

1.6 Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan atau konklusi diambil dari pernyataan-pernyataan yang diasumsikan benar tang selanjutnya disebut premis.

Berikut beberapa metode penarikan kesimpulan

1.6.1 Modus Ponens

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&p\\\hline konklusi&&:& q \end{array}.

1.6.2 Modus Tollens

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&\sim q\\\hline konklusi&&:& \sim p \end{array}.

1.6.3 Silogisme

\begin{array}{lccl}\\ Premis&1&:&p\rightarrow q\\ Premis&2&:&q\rightarrow r\\\hline konklusi&&:&p\rightarrow r \end{array}.

1.7 Bukti Langsung dan Tak langsung

Yang termasuk  bukti langsung adalah modus ponens, modus tollens, dan silogisme. Sedangkan bukti tak langsung dapat dilakukan dengan 2 cara yaitu dengan kontradiksi dan kontraposisi.

1.8 Induksi Matematika

Perhatikan bilangan susunan berikut

\begin{aligned}1&=1^{2}\\ 1+3&=2^{2}\\ 1+3+5&=3^{2}\\ 1+3+5+7&=4^{2}\\ 1+3+5+7+9&=5^{2}\\ \vdots &\\ 1+3+5+7+...+(2n-1)&=n^{2},\: untuk\: n\: \in \mathbb{N} \end{aligned}.

Ilustrasi rumus di atas dapat berlaku secara umum dengan bukti secara formal yaitu dengan Induksi Matematika (Induksi Lengkap)

Berikut langkah untuk Induksi Matematika, yaitu

\begin{tabular}{|lcp{7.0cm}|}\hline Langkah&1.&Rumus dibuktikan benar untuk n=1\\ Langkah&2.&Rumus diasumsikan berlaku untuk n=k, Selanjutnya rumus dibuktikan berlaku untuk n=k+1\\ &&\\ &&\\\hline Kesimpulan&&Rumus berlaku untuk setiap n bilangan Asli(disesuaikan dengan kondisi)\\\hline\end{tabular}.

\LARGE\fbox{Contoh Soal}.

1. Berikut tabel kebenaran untuk modus Ponens

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline p&q&p\rightarrow q&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge p&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge p \right )\rightarrow q\\\hline B&B&B&B&B\\\hline B&S&S&S&B\\\hline S&B&B&S&B\\\hline S&S&B&S&B\\\hline \end{array}.

2. Berikut tabel kebenaran untuk modus Tollens

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&\sim p&\sim q&p\rightarrow q&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge \sim q&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \sim q \right )\rightarrow \sim p\\\hline B&B&S&S&B&S&B\\\hline B&S&S&B&S&S&B\\\hline S&B&B&S&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

3. Berikut adalah tabel kebenaran untuk Silogisme

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline p&q&r&p\rightarrow q&q\rightarrow r&p\rightarrow r&\left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow r \right )&\left ( \left ( p\rightarrow q \right )\wedge \left ( q\rightarrow r \right ) \right )\rightarrow \left ( p\rightarrow r \right )\\\hline B&B&B&B&B&B&B&B\\\hline B&B&S&B&S&S&S&B\\\hline B&S&B&S&B&B&S&B\\\hline B&S&S&S&S&S&S&B\\\hline S&B&B&B&B&B&B&B\\\hline S&B&S&B&B&B&S&B\\\hline S&S&B&B&B&B&B&B\\\hline S&S&S&B&B&B&B&B\\\hline \end{array}.

4. Periksa sah atau tidak argumentasi berikut

a.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\\\hline \therefore \sim p\end{array}\quad\quad b.\quad \begin{array}{l}\\ p\vee q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\quad\quad c.\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}\quad\quad d.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim q\rightarrow \sim r\\\hline \therefore p\rightarrow \sim r \end{array}\\\\\\ e.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow \sim r \end{array}\quad\quad f.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore \sim r\rightarrow \sim p \end{array}\quad\quad g.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow \sim q\\ r\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad h.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\rightarrow \sim r\\ s\rightarrow r\\ p\\\hline \therefore s \end{array}.

Jawab:

a. Bukan modus, ponens, modus tollens, ataupun silogisme Sehingga penarikan kesimpulan tidak sah.

b. \begin{array}{l}\\ p\vee q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\quad \equiv\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\rightarrow q\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}.

c. \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}\quad \equiv\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ p\\\hline \therefore q \end{array}

Karena penarikan kesimpulan poin b tidak sesuai dengan kaidah modus ponens, modus tollens, atau silogisme, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah sedangkan poin c sesuai kaidah modus ponens, maka penarikan kesimpulan tersebut adalah sah.

d, e, f, g, dan h sebagai latihan

5. Jika  a,b,c\in \mathbb{R} , buktikan bahwa  \displaystyle \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc

Bukti:

\begin{aligned}\left ( a+b+c \right )^{2}&=\left ( a+b+c \right )\left .( a+b+c \right )\\ &=a\left ( a+b+c \right )+b\left ( a+b+c \right )+c\left ( a+b+c \right )\\ &=a^{2}+ab+ac+ab+b^{2}+bc+ac+bc+c^{2}\\ &=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\quad(\mathbf{terbukti}) \end{aligned}.

6. Buktikan untuk  a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0 bahwa ax^{2}+bx+c=0  memiliki penyelesaian  \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Bukti:

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\ \leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}&=-\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}\\ \leftrightarrow \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}&=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-4a}{4a^{2}}\\ \leftrightarrow x+\frac{b}{2a}&=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\ \leftrightarrow x&=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \leftrightarrow x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\quad (\mathbf{terbukti}) \end{aligned}.

7. Buktikan dengan bukti tak langsung , bahwa  jika  n^{2}  bilangan ganjil maka n  bilangan ganjil.

Bukti:

Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah  jika  n  tidak ganjil maka  n^{2}  tidak ganjil.

Misalkan n  bilangan genap, sehingga n dapat dinyatakan dengan  n=(2k),\quad k\in \mathbb{Z}.

\begin{aligned}n&=2k\\ &=\left ( 2k \right )^{2}\\ &=4k^{2}\\ &=2\left ( 2k^{2} \right )\\ &=2m,\quad m\in \mathbb{Z}\quad (\mathbf{Benar})\quad \textbf{Terbukti} \end{aligned}.

8. Buktikan bahwa  \sqrt{2} irasional

Bukti:

Kontradiksinya adalah \sqrt{2} rasional.

Andaikan \sqrt{2}  rasional . Karena  \sqrt{2}  rasional, maka dapat dinyatakan sebagai  \displaystyle \sqrt{2}=\frac{p}{q}  dengan  p\:\: dan\:\: q  adalah bilangan bulat yang tidak memiliki faktor persekutuan.

\begin{aligned}\sqrt{2}&=\frac{p}{q}\quad (dikuadratkan)\\ 2&=\frac{p^{2}}{q^{2}}\\ p^{2}&=2q^{2} \end{aligned}.

Karena  \displaystyle p^{2}=2q^{2} , maka  \displaystyle p^{2}  adalah bilangan genap dan dapat dinyatakan dengan  p=2n.

Sehingga

\begin{aligned}\left ( 2n \right )^{2}&=2q^{2}\\ 4n^{2}&=2q^{2}\\ 2n^{2}&=q^{2}\\ q^{2}&=2n^{2} \end{aligned}.

q^{2}  juga bilangan genap.

Karena  p\:\: dan\:\: q  keduanya genap, maka 2 adalah faktor persekutuan.

Hal ini bertentangan dengan pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkari.

Berarti   \sqrt{2}  rasional salah, akibatnya  \sqrt{2}  irasional

Jadi, Terbukti  bahwa  \sqrt{2}  irasional.

9. Untuk  \forall n\in \mathbb{N}
, buktikan dengan induksi matematika bahwa

\begin{array}{l}\\ a.\quad 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )\\ b.\quad 1+3+5+7+...+\left ( 2n-1 \right )=n^{2}\\ c.\quad 2^{3n}-1\quad habis\: dibagi\: 7 \end{array}.

Bukti:

a.  Langkah  1  

Untuk  n=1 ,

\begin{aligned}1&=\frac{1}{2}.1.\left ( 1+1 \right )\\ 1&=1\\ ruas\: kiri&=ruas\: kanan \end{aligned}.

Maka rumus berlaku untuk  n=1.

   Langkah  2

Misalkan rumus berlaku untuk  n=k, maka

\displaystyle 1+2+3+4+...+k=\frac{1}{2}k\left ( k+1 \right ).

Akan ditunjukkan rumus berlaku untuk  n=k+1, yaitu

\begin{aligned}1+2+3+4+...+k+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \underset{\frac{1}{2}k(k+1)}{\underbrace{1+2+3+4+...+k}}+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}k(k+1)+\frac{2}{2}(k+1)&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ \frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )&=\frac{1}{2}(k+1)\left ( (k+1)+1 \right )\\ ruas\: kiri&=ruas\: kanan \end{aligned}.

Karena ruas kiri = ruas kanan maka rumus berlaku untuk  n=k+1.

Kesimpulan:

Jadi, \displaystyle 1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )
berlaku untuk  \forall n\in \mathbb{N}.

\LARGE\fbox{Latihan Soal}

1. Diketahui implikasi ” Anton tidak akan pergi jika ia sakit atau membantu ayahnya”. Tentukan konvers, inver, kontraposisi, ekuivalensi dan negasinya dari implikasi tersebut.

2. Tunjukkan dengan tabel kebenaran tautologi-tautologi berikut berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \left ( p\vee q \right )\rightarrow \sim p \right )\rightarrow p\\ &&(b)&\sim \left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( p\wedge \sim q \right )\\ &&(c)&\left ( p\rightarrow \left ( q\rightarrow r \right ) \right )\leftrightarrow \left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow r \right )\\ &&(d)&\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow \left ( \left ( r\wedge p \right )\rightarrow \left ( r\wedge q \right ) \right )\\ &&(e)&\left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow r \right )\leftrightarrow \left ( \left ( p\rightarrow r \right )\vee \left ( q\rightarrow r \right ) \right ) \end{array}.

3. Dengan menggunakan tabel kebenaran, tentukanlah pernyataan-pernyataan berikut ini adalah tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \left ( p\wedge q \right )\rightarrow p \right )\rightarrow q\\ &&(b)&p\wedge \left ( \sim \left ( p\vee q \right ) \right )\\ &&(c)&\left ( p\rightarrow q \right )\leftrightarrow \left ( \sim p\vee q \right )\\ &&(d)&\left ( p\rightarrow q \right )\rightarrow \left ( q\rightarrow p \right )\\ &&(e)&p\vee \left ( q\rightarrow \sim r \right ) \end{array}.

4. Tentukanlah nilai kebenaran proporsi-proporsi berikut:

\begin{tabular}{lllp{16.0cm}}\\ &&(a)&Jika 2014 bilangan genap, maka 2014 habis dibagi 2\\ &&(b)&5 bilangan prima hanya jika 5 bilangan ganjil\\ &&(c)&Semarang terletak di Provinsi Jawa Tengah atau Provinsi D.I.Y\\ &&(d)&0 bilangan positih atau bilangan negatif\\ &&(e)&x habis dibagi 2 adalah syarat perlu dan cukup agar x adalah bilangan bulat genap \end{tabular}.

5. Untuk x,y\in \mathbb{R} , tentukan nilai kebenran dari pernyataan-pernyataan berikut:

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\left ( \exists x \right )\left ( 2x+3=1 \right )\\ &&(b)&\left ( \forall x \right )\left ( 5x+2014=2015 \right )\\ &&(c)&\left ( \exists x \right )\left ( x^{2}-6x+5> 0 \right )\\ &&(d)&\left ( \forall x \right )\left ( x^{2}-6x+5> 0 \right )\\ &&(e)&\left ( \forall x \right )\left ( x^{2}\geq 0 \right )\\ &&(f)&\left ( \exists y \right )\left ( y=2x^{2}> 0 \right )\\ &&(g)&\left ( \forall x \right )\left ( \forall y \right )\left ( x+y> 0 \right ) \end{array}.

6. Periksa sah atau tidaknya argumentasi berikut

a.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ q\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad b.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ r\rightarrow q\\\hline \therefore r\rightarrow p \end{array}\quad\quad c.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ \sim p\\\hline \therefore p \end{array}\quad\quad d.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore \sim r\rightarrow \sim p \end{array}\quad\quad e.\quad \begin{array}{l}\\ q\rightarrow p\\ \sim p\\\hline \therefore \sim q \end{array}\\ f.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow r\\ q\rightarrow p\\\hline \therefore q\rightarrow r \end{array}\quad\quad g.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow r \end{array}\quad\quad h.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ \sim r\rightarrow \sim q\\\hline \therefore p\rightarrow r \end{array}\quad\quad i.\quad \begin{array}{l}\\ \sim p\vee q\\ q\rightarrow \sim r\\ p\\\hline \therefore r \end{array}\quad\quad j.\quad \begin{array}{l}\\ p\rightarrow \sim q\\ q\vee \sim r\\ r\\\hline \therefore \sim p \end{array}.

7. Buktikan bahwa  x^{2}  ganjil maka  x  ganjil.

8. Buktikan bahwa  \sqrt{3}  irasional.

9. Buktikan bahwa persamaan  ax^{2}+bx+c=0  dengan  a\neq 0 , tidak mungkin mempunyai 3 buah akar yang berbeda.

10. Jika  a,b\in \mathbb{R}  maka buktikan bahwa  \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}.

11. Jika  \displaystyle x_{1}\:\: dan\: \: x_{2}  adalah akar-akar dari persamaan kuadrat  \displaystyle ax^{2}+bx+c=0 , buktikan bahwa :

\begin{array}{llll}\\ &&(a)&\displaystyle x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}\\ &&(b)&\displaystyle x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\\ &&(c)&\displaystyle \left |x_{1}-x_{2} \right |=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \end{array}.

12. Untuk  \forall n\in \mathbb{N} , buktikan dengan induksi matematika bahwa

\begin{array}{llll}\\ &&(1)&1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}\\ &&(2)&\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{6}.n(n+1)(2n+1)\\ &&(3)&\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{n-1}=2^{n}-1\\ &&(4)&\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}\\ &&(5)&\displaystyle 2+5+8+...+(3n-1)=\frac{1}{2}n\left ( 3n+1 \right )\\ &&(6)&\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{n\times (n+1)}=\frac{n}{n+1}\\ &&(7)&Buktikan\: bentuk\: 5^{2n}-1\: habis\: dibagi\: 3\\ &&(8)&Buktikan\: bentuk\: 7^{2n+1}+1\: habis\: dibagi\: 8\\ \end{array}.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s