materi kelas XII, materi kelas XII semester I, matriks, Uncategorized

Matriks

A. Pengertian Matriks

Perhatikan ilustrasi dari data berikut:

images (3)

Dari ilustrasi di atas, ada bilangan 5, 12, 17, dan 23 di barisan atas atau pertama. Kemudian 6, 18, 22, dan 30 di barisan kedua serta 9 , 27, 33, dan 45 berada di barisan ketiga dari susunan bilangan-bilangan sebagaimana ilustrasi di atas.

Perhatikan juga bilangan 5, 6, dan 9 berada di kolom pertama(kita sebut saja demikian) dan 12, 18, dan 27 berada di urutan kolom kedua begitu seterusnya. Susunan bilangan-bilangan tersebut sebagaimana ilustrasi di atas selanjutnya dinamakan matriks. Jadi matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan atau elemen-elemen yang diatur dalam baris dan kolom dan diletakkan di dalam kurung biasa ” ( ) ” ataupun kurung siku ” [ ] “..

\LARGE\fbox{Contoh Dalam Kehidupan Sehari-Hari}

1. Diketahui data hasil penjualan tiket penerbangan tujuan Semarang dan Solo, dari sebuah agen tiket, selama empat hari berturut-turut disajikan dalam tabel berikut

\begin{tabular}{|r|l|c|r|c|c|}\hline Tujuan&hari\: ke&I&II&III&IV\\ \hline Semarang&&3&4&2&5\\ \hline Solo&&7&1&3&2\\ \hline\end{tabular}

Data di atas dapat disederhanakan menjadi matriks berikut

\begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 & 5\\ 7 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}

2. Seorang wisatawan domestik hendak berlibur ke beberapa tempat tujuan wisata yang terdapat di pulau Jawa. untuk mengoptimalkan waktu kemudian wisatawan tersebut mencatat beberapa jarak  antar kota, sebagai berikut:

\begin{matrix} Bandung-Bogor &126&km& &Bandung-semarang &367&km \\ Bandung-Cirebon & 130&km& &Bandung-Yogyakarta &428&km \\ Bandung-Surabaya& 675 &km& &Bogor-Cirebon&256&km \\ Bogor-Surabaya&801&km& &Cirebon-Yogyakarta &317&km \\ Bogor-Semarang &493&km& &Surabaya-Semarang &308&km \\ Bogor-Yogyakarta &554&km & &Surabaya-Yogyakarta &327&km \\ Cirebon-Surabaya &545&km & &Semarang-Yogyakarta &115&km \\ Cirebon-Semarang &237&km & & & \end{matrix}

Tentukanlah susunan antar kota tujuan tersebut, seandainya wisatawan domestik tersebut hendak memulai perjalanannya dari Bandung.

Jawab:

Data dari soal di atas dapat kita tuliskan jarak antar kota di Pulau Jawa apabila di Mulai dari Bandung

\begin{tabular}{|r|r|r|r|c|c|c|c}\hline Tujuan&Bandung&Cirebon&Semarang&Yogyakarta&Surabaya&Bogor\\\hline Bandung&0&130&367&428&675&126\\\hline Cirebon&130&0&237&317&545&256\\\hline Semarang&367&237&0&115&308&493\\\hline Yogyakarta&428&317&115&0&327&554\\\hline Surabaya&675&545&308&327&0&801\\\hline Bogor&125&256&493&554&801&0\\\hline \end{tabular}

Jika wisatawan domestik tersebut ingin menampilkan jarak-jarak tersebut, maka ia dapat menuliskannya sebagai berikut

\begin{bmatrix} 0 &130 & 367 &428 & 675 &126 \\ 130 & 0 &237 &317 & 545 &256 \\ 367 & 237 & 0 &115 & 308 & 493\\ 428 & 317 &115 & 0 &327 &554 \\ 675 & 545 &308 & 437 &0 &801 \\ 126& 256 &493 & 554 & 801 &0 \end{bmatrix}

Pengertian, Notasi, Ordo Suatu Matriks

  • Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang di susun menurut baris dan kolom yang berbentuk persegi atau persegi panjang dalam tanda kurung biasa “( )” atau kurung siki ” [ ] “.
  • Notasi Matriks; Sebuah matriks biasanya di notasikan dengan sebuah huruf besar(kapital).
  • Ordo Matriks; adalah ukuran matriks, yang menunjukkan banyaknya baris dan kolom pada suatu matrik atau selanjutnya kita sebut sebagai ukuran matriks.

Berikut adalah Sebagai penjelas dari keterangan di atas.

A_{m\times n}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots &a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3j} & \cdots &a_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} &\cdots &a_{mn} \end{pmatrix}.

Matriks A di atas adalah matriks A yang berukuran atau berordo m x n. Banyaknya baris ada sebanyak m dan banyak kolom sebanyak n. Penulisan antara baris dan kolom (aturan penulisan ordo) adalah banyak baris disebutkan terlebih dahulu kemudian baru menyebutkan banyaknya kolom.

\bordermatrix{ &\underset{\downarrow}{k_{1}}&\underset{\downarrow}{k_{2}}&\underset{\downarrow}{k_{3}}&\underset{\downarrow}{k_{\cdots }}&\underset{\downarrow}{k_{j}}&\underset{\downarrow}{k_{\cdots }}&\underset{\downarrow}{k_{n}}\cr \textrm{baris ke-1}\rightarrow &a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\cr \textrm{baris ke-2}\rightarrow&a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2j}&\cdots &a_{2n}\cr \textrm{baris ke-3}\rightarrow&a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3j}&\cdots &a_{3n}\cr \textrm{baris ke-\vdots }\rightarrow&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \cr \textrm{baris ke-m}\rightarrow&a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}}.

Catatan :

Pada matriks A di atas

  • a_{11},\: a_{12},\: a_{13},\cdots \: ,a_{mn}  adalah elemen-elemen atau unsur-unsur atau juga entri-entri dari matriks A.
  • Andaikan elemen  a_{ij}  adalah salah satu elemen dari matriks A di atas, indeks i menunjukkan posisi baris dan indeks j menunjukkan posisi kolom pada Matriks A tersebut. Sehingga elemen a_{mn}  adalah elemen dari matriks A yang terletak pada baris ke-m kolom ke-n.

Jenis-jenis Matriks

Ditinjau dari elemen-elemen penyusunnya, matriks dibedakan sebagai berikut:

\begin{array}{|l|p{2.0cm}|p{9.0cm}|l|l|}\hline \textrm{No}&Jenis Matriks&\textrm{Keterangan}&\textrm{Contoh}&\textrm{Ordo}\\\hline 1.&Matriks Baris&Matriks yang elemen penyusunnya satu baris saja&\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \end{pmatrix}&1\times 3\\\hline 2.&Matriks Kolom&Matriks yang elemen penyusunnya tepat satu kolom saja&\begin{pmatrix} 5\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}&3\times 1\\\hline 3.&Matriks Nol&Matriks yang semua elemennya adalah bilangan nol&\begin{pmatrix} 0 & 0&0\\ 0 & 0&0 \end{pmatrix}&2\times 3\\\hline 4.&Matriks Persegi&Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama&\begin{pmatrix} 2 & 8\\ 6 & 1 \end{pmatrix}&2\times 2\\\hline 5.&Matriks Diagonal&Matriks Persegi yang semua elemennya nol kecuali pada diagonal utama&\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}&2\times 2\\\cline{4-5} &&\boxed{\textrm{\textbf{Diagoal Utama} adalah elemen}\: a_{ij}\: \textrm{untuk}\: i=j}&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}&3\times 3\\\hline 6.&Matriks Identitas&a. Identitas terhadap penjumlahan. Jika A + O = A = O + A&&\\\cline{3-5} &&b. Matriks Satuan (I) adalah Matriks persegi di mana semua elemennya adalah nol kecuali pada diagonal utama berupa bilangan 1&\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}&2\times 2\\\hline 7.&Segitiga Atas dan Segitiga Bawah&a. Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama berupa bilangan nol&\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & -7 & 6\\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}&3\times 3\\\cline{3-5} &&b. Matriks Segitiga Bawah adalah kebalikan dari Matriks Segitiga Atas&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 5 & 6 & 3 \end{pmatrix}&3\times 3\\\hline 8&Matriks Simetris&Suatu matriks disebut sebagai matriks simetris jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama&\begin{pmatrix} 1 & 8\\ 8 & 9 \end{pmatrix}&2\times 2\\\cline{4-5} &&&\begin{pmatrix} 2 & 1 & -5\\ 1 & 3 & 7\\ -5 & 7 & 4 \end{pmatrix}&3\times 3\\\hline \end{array}.

 

Kesamaan Matriks

Dua buah matriks A dan B dikatan sama jika dan hanya jika kedua matriks A dan B tersebut ordonya sama dan elemen yang seletak juga sama.

 

\LARGE\fbox{Contoh}

1. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut ini?

a. \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 9 \end{bmatrix}

b. \begin{bmatrix} 8 & 0 & 11\\ 2014 & 2013 & 2012 \end{bmatrix}

c. \begin{bmatrix} 2 &3 &4 &5 & 10\\ -5 &-3 & -2 & -1 &7 \\ 1& 1 & 6 &9 &-9 \end{bmatrix}

d. \begin{bmatrix} -2\\ -3\\ 6\\ -5 \end{bmatrix}

e. \begin{bmatrix} 2 & -5 &3 \end{bmatrix}

f. \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}

 

Jawab :

a. 2 x 2       b. 2 x 3      c. 3 x 5     d.  4 x 1    e.  1 x 3     f.  3 x 3

sebagai catatan misal untuk soal b) baris ada 2 dan banyak kolom 3 maka ordo matiks tersebut adalah 2 x 3

2. Jika  \begin{bmatrix} 1 &2 & 3\\ 4 & 5 &6 \\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b &c \\ d& e &f \\ g & h & i \end{bmatrix}  tentukan nilai ( a + b + c + d) – ( e + f + g + h + i ) ?

jawab:

(1+2+3+4) – (5+6+0+0+0)=10 – 11 = -1

3. Tentukan nilai  x dan y pada persamaan matriks berikut

\begin{bmatrix} 2x-3 & 20\\ 31& y+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 &20 \\ 31 & -2 \end{bmatrix}

 

Jawab:

2x-3=7\: \Rightarrow \: 2x=10\: \Rightarrow \: x=5\: \: dan\: \: y+2=-2\: \Rightarrow \: y=-4

 

B. Transpose Matriks

Transpose dari suatu matriks adalah baris dan kolom dipertukarkan. misalkan A adalah sebuah matriks maka transpose dari matriks A adalah A^{t} secara otomatis ordo matriksnya juga ikut menyesuaikan. Kalau matriknya persegi ordo tidk berubah tetapi kalau tdak persegi pasti berubah.

Misal sebuah matriks A=\begin{bmatrix} 2 & 2 & 3\\ 4 & 4 & 5 \end{bmatrix}, maka transpose matriks A adalah  A^{t}=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 2 & 4\\ 3 & 5 \end{bmatrix}, perhatikan juga bahwa ordonya juga berubah.

\LARGE\fbox{Contoh}

Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi  D^{t}=E  dengan D=\begin{bmatrix} 2a-4 &3b \\ d+2a & 2c\\ 4& 7 \end{bmatrix}  dan E=\begin{bmatrix} b-5 & 3a-c &4 \\ 3 & 6 & 7 \end{bmatrix}

 

Jawab:

Dari soal diketahui bahwa  D^{t}=E . Akibatnya \begin{bmatrix} 2a-4 & d+2a &4 \\ 3b& 2c &7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b-5 & 3a-c & 4\\ 3 & 6 & 7 \end{bmatrix}

dari kesamaan di atas diperoleh fakta sebagai berikut:

  • 3b=3 maka b=1, dan 2c=6 maka c=3
  • 2a-4=b-5\: \: maka\: \: 2a-4=-4\: \: sehingga\: \: a=0
  • Karena a=0 maka d= – 3

Jadi, nilai a=0, b=1, c=3, dan d= -3

 

C. Operasi Sederhana Matriks

1. Penjumlahan dan pengurangan dua buah matriks

Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan  hanya jika ordonya sama

Sebagai ilustrasi untuk matriks persegi ordo 2 x 2

27

[sumber]

2. Perkalian dua buah matriks dapat dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua

perhatikan ilustrasi berikut

26

 

3. Perkalian matriks dengan skalar

sebagai ilustrsinya

28

\LARGE\fbox{Contoh}

1. Tentukan nilai dari operasi matriks A.B
, jikaA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}, dan B=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}

Jawab:

30

 

2. Diketahui matriks P=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 5 & -6 \end{bmatrix}Q=\begin{bmatrix} 5 & a\\ b & 3 \end{bmatrix} , dan R=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 & 2 \end{bmatrix}. Jika  PQ=R, maka nilai a dan b berturut-turut adalah… .

Jawab:

PQ=R

\begin{bmatrix} 2 &-1 \\ 5&-6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & a\\ b & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 &2 \end{bmatrix} ,

\begin{bmatrix} 10-b & 2a-3\\ 25-6b & 5a-18 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 5\\ -11 &2 \end{bmatrix} ,

Dari data di atas diperoleh \left\{\begin{matrix} 10 &- &b &=&4 \\ 2a &- &3 &=&5 \\ 25 &- & 6b &=&-11 \\ 5a &- &18 &=&2 \end{matrix}\right.

dari data di atas didapatkan pula bahwa a=4\: \: \: dan\: \: \: b=6

3. Jika diketahui matriks A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} , maka hitunglah A^{2014}

Jawab:

Perhatikan bahwa

A^{2}=AA=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}=-1\times \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}=-1\times I=-I

Karena A^{2}=-I , maka A^{4}=I. Hal ini berarti setiap pangkat kelipatan 4 maka akan berupa matriks identitas ordo 2 x 2 .

Selanjutnya,  2014 dapat dituliskan sebagai 2014 = 4. (503) + 2 , akibatnya A^{2014}=A^{4.503+2}=A^{4.503}.A^{2}=I.A^{2}=A^{2}

Sehingga A^{2014}=A^{2}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}

\LARGE\fbox{Soal Latihan}

  1. Diketahui A=\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} dan B=\begin{bmatrix} 2 &2 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}. Tentukan nilai dari A.B
  2. Jika matriks P=\begin{bmatrix} 5 &-2a \\ 6 & x-1 \end{bmatrix} dan Q=\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ -3 & a \end{bmatrix}. Jika P^{t}=Q, maka nilai x adalah… .
  3. Misalkan \begin{bmatrix} -1 & 3\\ -4& 2a \end{bmatrix}-3\begin{bmatrix} 5 &3 \\ -4 &2 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} -8 &-b \\ 4 &4 \end{bmatrix} , maka nilai 2a+b
  4. Diberikan matriks A=\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 0 & 1 \end{bmatrix}. Jika A^{2}=AA,\: \: A^{3}=A^{2}A,\: \:dan\: \: \: A^{4}=A^{3}A dan seterusnya, maka hitunglah A^{2014}

Determinan

A. Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Jika matriks A adalah matriks yang berordo 2 x 2 matriks determinan matriks A tersebut adalah hasil kali elemen pada diagonal utama dikurangai dengan hasil kali elemen pada diagonal skunder dan notasikan dengan det A atau |A|.

Perhatikan

\LARGE{\boxed{A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\Rightarrow \textrm{det}\: A=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc}}.

atau jika

\Large{\boxed{A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\Rightarrow \textrm{det}\: A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}\times a_{22}-a_{12}\times a_{21}}}.

Sebagai misal

A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 8 & 9 \end{pmatrix},\quad \textrm{maka det A} = \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 8 & 9 \end{vmatrix}=(1\times 9) -(2\times 8)=9-16=-7.

B. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Ada beberapa metode dalam mencari determinan matriks ordo 3 x 3 diantaranya yang paling sering digunakan adalah:

  1. Menjabarkan mengikuti baris atau kolom (ekspansi kofaktor)
  2. Atuaran Sarrus.

Misalkan A adalah sebuah matriks persegi berordo 3 x 3 dengan

\LARGE{A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}.

Perhatikan

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\LARGE{A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}}\\\hline \textrm{Misalkan kita jabarkan baris pertama}&\textrm{Metode Sarrus}\\\hline \begin{aligned}\textrm{det A}&=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\ &\\ &\textbf{Catatan}:\\ &\textrm{tanda}\: a_{ij}=\textrm{positif jika}\: i+j\: \textrm{genap}\\ &\textrm{tanda}\: a_{ij}=\textrm{negatif jika}\: i+j\: \textrm{ganjil} \end{aligned}&\begin{aligned}\textrm{det A}&=a_{11}.a_{22}.a_{33}+\\ &\quad\: a_{12}.a_{23}.a_{31}+\\ &\quad\: a_{13}.a_{21}.a_{32}\\ &\quad -a_{31}a_{22}.a_{13}\\ &\quad -a_{32}.a_{23}.a_{11}\\ &\quad -a_{33}.a_{21}.a_{12} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{aligned}\textrm{Tanda dalam} \: &\textrm{menjabarkan baris tau kolom}\\ &\Huge\begin{pmatrix} + & - & +\\ - & + & -\\ + & - & + \end{pmatrix} \end{aligned}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Contoh Soal}}}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Diketahui matriks-matriks persegi berikut}\\ &a.\: \: \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}\qquad\qquad c.\: \: \begin{pmatrix} -2 & -3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}\\ &b.\: \: \begin{pmatrix} 0 & 4\\ -3 & 6 \end{pmatrix}\: \quad\quad\quad d.\: \: \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 3\sqrt{3}\\ \sqrt{2} & -2\sqrt{2} \end{pmatrix}\\ &\\ &\textrm{Tentukanlah determinan dari matriks-matriks persegi di atas} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Matriks-matriks persegi}}\\\hline a.\quad \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}&b.\quad \begin{pmatrix} 0 & 4\\ -3 & 6 \end{pmatrix}&c.\quad \begin{pmatrix} -2 & -3\\ 6 & 7 \end{pmatrix}&d.\quad \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 3\sqrt{3}\\ \sqrt{2} & -2\sqrt{2} \end{pmatrix}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Determinan matriks-matriks persegi tersebut}}\\\hline \begin{aligned}a.\quad &\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 6 & 7 \end{vmatrix}\\ &=(2).(7)-(3).(6)\\ &=14-18\\ &=-4\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}b.\quad &\begin{vmatrix} 0 & 4\\ -3 & 6 \end{vmatrix}\\ &=(0).(6)-(4).(-3)\\ &=0-(-12)\\ &=12\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}c.\quad &\begin{vmatrix} -2 & -3\\ 6 & 7 \end{vmatrix}\\ &=(-2).(7)-(-3).(6)\\ &=(-14)-(-18)\\ &=-14+18\\ &=4 \end{aligned}&\begin{aligned}d.\quad &\begin{vmatrix} \sqrt{3} & 3\sqrt{3}\\ \sqrt{2} & -2\sqrt{2} \end{vmatrix}\\ &=(\sqrt{3}).(-2\sqrt{2})-(3\sqrt{3}).(\sqrt{2})\\ &=-2\sqrt{6}-3\sqrt{6}\\ &=-5\sqrt{6}\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Tentukanlah nilai}\: x\: \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \begin{vmatrix} 1-x & 3\\ 2 & 3-x \end{vmatrix}=2\\ \end{array}.

Jawab:

\begin{aligned}\begin{vmatrix} 1-x & 3\\ 2 & 3-x \end{vmatrix}&=2\\ \left ( 1-x \right )\left ( 3-x \right )-(3)(2)&=2\\ 3-x-3x+x^{2}-6&=2\\ x^{2}-4x-3&=2\\ x^{2}-4x-5&=0\\ \left ( x-5 \right )\left ( x+1 \right )&=0\\ x-5=0\: \: \textrm{atau}\: \:x+1&=0\\ x=5\: \: \textrm{atau}\: \: x&=-1 \\ &\\ \therefore x=5\: \: \textrm{atau}\: \: x=-1& \end{aligned}

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui matriks-matriks persegi berikut}\\ &(i).\: \: \begin{pmatrix} 1 & 2&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{pmatrix}\quad\quad\quad\quad\: \: \, (iii).\: \: \begin{pmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}\\ &(ii).\: \: \begin{pmatrix} -1 & -2&-3\\ -2 & 6&0\\ -3&0&6 \end{pmatrix}\quad\quad (iv).\: \: \begin{pmatrix} 2 & 1&1\\ 1 & 2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}\\ &\\ &\textrm{Tentukanlah determinan matriks-matriks di atas dengan cara}\\ &a.\quad Sarrus\\ &b.\quad \textrm{Menjabarkan baris pertama}\\ &c.\quad \textrm{Menjabarkan baris kedua}\\ &d.\quad \textrm{Menjabarkan baris ketiga}\\ &e.\quad \textrm{Menjabarkan kolom pertama}\\ &f.\quad \textrm{Menjabarkan kolom kedua}\\ &g.\quad \textrm{Menjabarkan kolom ketiga} \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Matriks-matriks persegi}}\\\hline (i).\quad \begin{pmatrix} 1 & 1&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{pmatrix}&(ii).\quad \begin{pmatrix} -1 & -2&-3\\ -2 & 6&0\\ -3&0&6 \end{pmatrix}&(iii).\quad \begin{pmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}&(iv).\quad \begin{pmatrix} 2 & 1&1\\ 1 & 2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Determinan matriks-matriks persegi tersebut dengan cara \textit{Sarrus}}}\\\hline \begin{aligned}(i).\quad &\begin{vmatrix} 1 & 1&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{vmatrix}\\ &=(1)(4)(4)+\\ &\: \: \quad (1)(5)(3)+\\ &\: \: \quad (3)(2)(5)+\\ &\: \: \quad -(3)(4)(3)\\ &\: \: \quad -(5)(5)(1)\\ &\: \: \quad -(4)(2)(1)\\ &=16+15+30\\ &\: \: \: -36-25-8\\ &=-8 \\\end{aligned} &\begin{aligned}(ii).\quad &\begin{vmatrix} -1 & -2&-3\\ -2 & 6&0\\ -3&0&6 \end{vmatrix}\\ &=(-1)(6)(6)+\\ &\: \: \quad (-2)(0)(-3)+\\ &\: \: \quad (-3)(-2)(0)+\\ &\: \: \quad -(-3)(6)(-3)\\ &\: \: \quad -(0)(0)(-1)\\ &\: \: \quad -(6)(-2)(-2)\\ &=-36+0+0\\ &\: \: \: -54-0-24\\ &=-114 \\\end{aligned} &\begin{aligned}(iii).\quad &\begin{vmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{vmatrix}\\ &=(1)(5)(9)+\\ &\: \: \quad (2)(6)(7)+\\ &\: \: \quad (3)(4)(8)+\\ &\: \: \quad -(7)(5)(3)\\ &\: \: \quad -(8)(6)(1)\\ &\: \: \quad -(9)(4)(2)\\ &=45+84+96\\ &\: \: \: -105-48-72\\ &=0 \\\end{aligned} &\begin{aligned}&(iv).\quad \textrm{silahkan}\\ &\textrm{dicoba sendiri}\end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Matriks-matriks persegi}}\\\hline (i).\quad \begin{pmatrix} 1 & 1&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{pmatrix}&(ii).\quad \begin{pmatrix} -1 & -2&-3\\ -2 & 6&0\\ -3&0&6 \end{pmatrix}&(iii).\quad \begin{pmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}&(iv).\quad \begin{pmatrix} 2 & 1&1\\ 1 & 2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix}\\\hline \multicolumn{4}{|c|}{\textrm{Determinan matriks-matriks persegi tersebut dengan cara menjabarkan baris pertama}}\\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}(i).\quad &\begin{vmatrix} 1 & 1&3\\ 2 & 4&5\\ 3&5&4 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \textcircled{1} & 1 & 3\\\cline{1-3} 2| & 4 & 5\\ 3| & 5 & 4 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1&\textcircled{1} & 3\\\cline{1-3} 2 & |\underline{4} & 5\\ 3 & |\underline{5} & 4 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&1&\textcircled{3} \\\cline{1-3} 2 & 4 & |5\\ 3 & 5 & |4 \end{vmatrix}\\ &=+(1)\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 5 & 4 \end{vmatrix}-(1)\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4 \end{vmatrix}+(3)\begin{vmatrix} 2 & 4\\ 3 & 5 \end{vmatrix}\\ &=(1)(16-25)-(1)(8-15)+(3)(10-12)\\ &=-9-(-7)+(-6)\\ &=-8\end{aligned}}&\multicolumn{2}{|l|}{\begin{aligned}(iii).\quad &\begin{vmatrix} 1 & 2&3\\ 4 & 5&6\\ 7&8&9 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \textcircled{1} & 2 & 3\\\cline{1-3} 4| & 5 & 6\\ 7| & 8 & 9 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1&\textcircled{2} & 3\\\cline{1-3} 4 & |\underline{5} & 6\\ 7 & |\underline{8} & 9 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&2&\textcircled{3} \\\cline{1-3} 4 & 5 & |6\\ 7 & 8 & |9 \end{vmatrix}\\ &=+(1)\begin{vmatrix} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{vmatrix}-(2)\begin{vmatrix} 4 & 6\\ 7 & 9 \end{vmatrix}+(3)\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}\\ &=(1)(45-48)-(2)(36-42)+(3)(32-35)\\ &=-3-(-12)+(-9)\\ &=0\end{aligned} } \\\hline \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Latihan Soal}}}}.

  1. Silahkan selesaiakan Contoh Soal pada No. 3 yang belum dibahas.
  2. \begin{array}{ll}\\ &\textrm{Tentukanlah nilai}\: x\: \textrm{yang memenuhi persamaan}\: \begin{vmatrix} 2 & 3&2\\ x-2 & x&x-3\\ 10&16&11 \end{vmatrix}=2\\ \end{array}.

Invers Matriks

Invers Matriks hanya ada pada matriks persegi.

Jika matriks A dan matriks B masing-masing adalah matriks persegi dan saling invers maka AB = BA = I, dimana I adalah matriks identitas. Jika B adalah invers matriks A maka dapat kita tuliskan bahwa  B=A^{-1}.

A. Matriks Ordo 2×2

\begin{array}{|l|c|c|}\hline \textrm{Matriks Persegi}&\textrm{Invers}&\textbf{Contoh}\\\hline \begin{aligned}A&=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}A^{-1}&=\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{(ad-bc)}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}B&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 8 & 9 \end{pmatrix}\\ &\textrm{maka,}\\ B^{-1}&=\displaystyle \frac{1}{\begin{vmatrix} B \end{vmatrix}}\begin{pmatrix} 9 & -2\\ -8 & 1 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{(9-16)}\begin{pmatrix} 9 & -2\\ -8 & 1 \end{pmatrix}\\ &=\displaystyle \frac{1}{-7}\begin{pmatrix} 9 & -2\\ -8 & 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -\frac{9}{7} & \frac{2}{7}\\ \frac{8}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

B. Matriks Ordo 3×3 (Pengayaan)  

Invers matriks ordo 3×3 adalah jika A adalah suatu matriks ordo 3×3, maka invers dari matriks A tersebut ( syaratnya det A ≠ 0) adalah

\Huge A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{det\: A}.Adjoin\: A.

Sebelum kita menuju adjoin kita perlu mengerti beberapa istilah selain adjoin yang berkaitan dengan invers matriks ordo 3×3 ini yaitu minor dan kofaktor, serta adjoin itu sendiri.

\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline \textrm{Determinan}&\textrm{Minor}&\textrm{Kofaktor}&\textrm{Adjoin}\\\hline A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} &\begin{aligned}&\textrm{Minor}\: a_{ij}\: \textrm{adalah}\\ &\textrm{jika elemen-elemen}\\ &\textrm{beris ke-i dan kolom}\\ &\textrm{ke-j dihapus dari}\\ &\textrm{matriks ordo 3x3}\\ &\textrm{kemudian ditentukan}\\ &\textrm{determinannya}\\ &\textrm{dan dinotasikan}\\ &\textrm{dengan}\: \: \begin{vmatrix} M_{ij} \end{vmatrix}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Diketahui minor}\\ &a_{ij}\: \: \textrm{matriks A}\\ &\textrm{adalah}\: \: \begin{vmatrix} M_{ij} \end{vmatrix},\\ &\textrm{maka yang dimaksud}\\ &\textrm{kofaktor}\: \: a_{ij}\\ &\textrm{adalah}\: \: K _{ij}, \: \textrm{di mana}\\ &K _{ij}=(-1)^{i+j}.\begin{vmatrix} M_{ij} \end{vmatrix}.\\ &\textrm{Selanjutnya}\\ &\textrm{diperoleh juga} \\ &\textrm{matriks kofaktor C}\\ &C=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{12} & K_{13}\\ K_{21} & K_{22} & K_{23}\\ K_{31} & K_{32} & K_{33} \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Transpose dari}\\ &\textrm{matriks kofaktor}\\ &\textrm{disebut sebagai}\\ &\textrm{matriks Adjoin}\\ &\textrm{yaitu}\\ &\textrm{Adj}\: A=\\ &\begin{pmatrix} K_{11} & K_{21} & K_{31}\\ K_{12} & K_{22} & K_{32}\\ K_{13} & K_{23} & K_{33} \end{pmatrix}\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.

Contoh Invers matriks ordo 3×3 sebagai berikut

Diketahui matriks  A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.  Tentukanlah

  1. determinan matriks A
  2. minor matriks A
  3. kofaktor matriks A
  4. adjoin matriks A, dan
  5. invers matriks A

Jawab:

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{dengan cara \textbf{Sarrus} diperoleh det A}\\ &\\ &\textrm{det}\: A=\begin{matrix} \begin{vmatrix} 1^{+} & 2^{+} & 3^{+}\\ 0 & 4 & 5\\ 3_{-} & 2_{-} & 1_{-} \end{vmatrix}&\begin{matrix} 1 & 2\\ 0 & 4\\ 3 & 2 \end{matrix} \end{matrix}\: \\ &\\ &\quad\quad \: \, \, =\: +(1.4.1)+(2.5.3)+(3.0.2)-(3.4.3)-(2.5.1)-(1.0.2)\\ &\quad\quad \: \, \, =+4+30+0-36-10-0\\ &\quad\quad\: \, \, =-12\\ &\\ &\textrm{jadi, det A = - 12} \end{array}.

Perhatikan bahwa matriks A berordo 3×3 dan nilai determinannya ≠ 0, sehingga akan memiliki invers.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{minor dari matriks A adalah}\\ &\\ &\begin{matrix} \textrm{minor}\: a_{11}=\begin{vmatrix} M_{11} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=4-10=-6, &\textrm{minor}\: a_{12}=\begin{vmatrix} M_{12} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 5\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=0-15=-15 ,&\\ \textrm{minor}\: a_{13}=\begin{vmatrix} M_{13} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 4\\ 3 & 2 \end{vmatrix}=0-12=-12.&\textrm{dan sterusnya}\quad\quad\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad&\\ \begin{vmatrix} M_{21} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=2-6=-4 ,&\begin{vmatrix} M_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1-9=-8 ,&\\ \begin{vmatrix} M_{23} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{vmatrix}=2-6=-4 &\begin{vmatrix} M_{31} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{vmatrix}=10-12=-2\\ \begin{vmatrix} M_{32} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 0 & 5 \end{vmatrix}=5-0=5 ,&\begin{vmatrix} M_{33} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 4 \end{vmatrix}=4-0=4 ,& \end{matrix} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{kofaktor-kofaktornya adalah}\\ &\begin{array}{lll}\\ K_{11}=(-1)^{1+1}.\begin{vmatrix} M_{11} \end{vmatrix}=-6,&K_{12}=(-1)^{1+2}.\begin{vmatrix} M_{12} \end{vmatrix}=-(-15)=15,&K_{13}=(-1)^{1+3}.\begin{vmatrix} M_{13} \end{vmatrix}=-12\\ K_{21}=(-1)^{2+1}.\begin{vmatrix} M_{21} \end{vmatrix}=-(-4)=4,&K_{22}=(-1)^{2+2}.\begin{vmatrix} M_{22} \end{vmatrix}=-8,&K_{23}=(-1)^{2+3}.\begin{vmatrix} M_{23} \end{vmatrix}=-(-4)=4\\ K_{31}=(-1)^{3+1}.\begin{vmatrix} M_{31} \end{vmatrix}=-2,&K_{32}=(-1)^{3+2}.\begin{vmatrix} M_{32} \end{vmatrix}=-(5)=-5,&K_{33}=(-1)^{3+3}.\begin{vmatrix} M_{33} \end{vmatrix}=4 \end{array}\\ &\\ &\textrm{Jadi matriks kofaktornya adalah} \: \: C=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{12} & K_{13}\\ K_{21} & K_{22} & K_{23}\\ K_{31} & K_{32} & K_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 & 15 & -12\\ 4 & -8 & 4\\ -2 & -5 & 4 \end{pmatrix} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{adjoin matriks A-nya adalah}\\ &\\ &\textrm{Adj}\: \: A=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{21} & K_{31}\\ K_{12} & K_{22} & K_{32}\\ K_{13} & K_{23} & K_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix} \end{array}.

Boleh juga langkah ke-2 sampai dengan langkah ke-4 disingkat sebagai berikut:

\begin{aligned}Adj\: A=\begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} \textcircled{1} & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1&2 & 3\\ \textcircled{0} & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 0 & 4 & 5\\ \textcircled{3} & 2 & 1 \end{vmatrix}\\ &&\\ -\begin{vmatrix} 1&\textcircled{2}& 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & \textcircled{4} & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & \textcircled{2} & 1 \end{vmatrix}\\ &&\\ +\begin{vmatrix} 1&2&\textcircled{3}\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & \textcircled{5}\\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & \textcircled{1} \end{vmatrix} \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 2 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5 \end{vmatrix}\\ &&\\ -\begin{vmatrix} 0 & 5\\ 3 & 1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 3 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 0 & 5 \end{vmatrix}\\ &&\\ +\begin{vmatrix} 0 & 4\\ 3 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 4 \end{vmatrix} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}.

Catatan:

elemen yang dilingkari menunjukkan baris dan kolom pada elemen tersebut dihapus. Sehingga tersisa determinan matriks ordo 2×2.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{invers matriks A-nya adalah}\\ &\\ &A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{\textrm{det}\: \: A}.\textrm{Adj}\: \: A\\ &\\ &A^{-1}=\displaystyle \frac{1}{-12}.\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix} \\&\\ &A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\ -\frac{5}{4} & \frac{2}{3} & \frac{5}{12}\\ 1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{array}.

C. Matriks Identitas

Sebuah matriks persegi yang memiliki invers jika dikalikan denganinversnya akan menghasilkan matriks identitas atau matriks satuan.

Matriks identitas adalah jika elemen-elemen pada diagonal utama berupa bilangan 1 dan lainnya berupa bilangan nol.

Berikut adalah matriks identitas ordo 2×2 dan ordo 3×3

\LARGE\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\qquad \textrm{dan}\qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Contoh

Pada soal diatas berkaitan matriks ordo 3×3 dan inversnya diperoleh

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\qquad \textrm{dan}\qquad A^{-1}=-\displaystyle \frac{1}{12}\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix}.

Tunjukkan bahwa

A.A^{-1}=I=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Bukti

\begin{aligned}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\times -\displaystyle \frac{1}{12}.\begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix}&=-\displaystyle \frac{1}{12}.\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -6 & 4 & -2\\ 15 & -8 & -5\\ -12 & 4 & 4 \end{pmatrix}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{12}.\begin{pmatrix} (-6+0+6) & (-12+16-4) & (-18+20-2)\\ (15+0-15) & (30-32-10) & (45-40-5)\\ (-12+0+12) & (-24+16+8) & (-36+20+4) \end{pmatrix}\\ &=-\displaystyle \frac{1}{12}.\begin{pmatrix} -12 & 0 & 0\\ 0 & -12 & 0\\ 0 & 0 & -12 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{-12}{-12} & 0 & 0\\ 0 &\displaystyle \frac{-12}{-12} & 0\\ 0 & 0 & \displaystyle \frac{-12}{-12} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \textbf{terbukti} \end{aligned}.

4. Persamaan Matriks Bentuk AX=B dan XA=B

Perhatikanlah

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Menyelesaikan Persamaan Matriks Ordo 2x2}}\\ \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Bentuk}}\\\hline \begin{aligned}A.X&=B\\ A^{-1}.A.X&=B\\ I.X&=A^{-1}.B\\ X&=A^{-1}.B \end{aligned}&\begin{aligned}X.A&=B\\ X.A.A^{-1}&=B\\ X.I&=B.A^{-1}\\ X&=B.A^{-1} \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Contoh}}\\\hline \begin{aligned}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}.X&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ X&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{-1}.\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ X&=\displaystyle \frac{1}{(4-6)}\begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ X&=-\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (0-4) & (-4+6)\\ (0+2) & (3-3) \end{pmatrix}\\ X&=-\displaystyle \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -4 & 2\\ 2 & 0 \end{pmatrix}\\ X&=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & \end{pmatrix} \end{aligned}&\begin{aligned}X.\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ X&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{-1}\\ X&=\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}.\displaystyle \frac{1}{0-1}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\\ X&=-\begin{pmatrix} 0 & -1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\\ X&=-\begin{pmatrix} (0-1) & (0-2)\\ (0-3) & (2-6) \end{pmatrix}\\ X&=-\begin{pmatrix} -1 & -2\\ -3 & -4 \end{pmatrix}\\ X&=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned} \\\hline \end{array}.

\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{Latihan Soal}}}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah invers matriks berikut }\\ &a.\quad \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 5 & 19 \end{pmatrix}\quad\quad\quad c.\quad \begin{pmatrix} -6 & -6\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\\ &b.\quad \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 4 & 2 & 1\\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix}\quad\quad d.\quad \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\ -2 & -4 & 3\\ 5 & 4 & -2 \end{pmatrix}\\ &\\ 2.&\textrm{Perhatikan matriks berikut}\\ &\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\\ &\textrm{Apakah matriks tersebut memiliki invers}?\: \textrm{jelaskan alasan Anda}!\\ &\\ 3.&\textrm{Jika X adalah matriks berordo 2x2 , Carilah X dari persamaan matriks berikut }\\ &a.\quad \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 2 & 4 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 2 \end{pmatrix}\quad\quad\quad\:\: d.\quad X\begin{pmatrix} -2 & -3\\ 1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -5\\ 10 & -5 \end{pmatrix}\\ &b.\quad \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 5 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} -2 & -4\\ 5 & 12 \end{pmatrix}\quad\quad e.\quad X\begin{pmatrix} 7 & 5\\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\\ &c.\quad \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 8 & 9 \end{pmatrix}\quad\quad\quad\: \, f.\quad X\begin{pmatrix} -3 & 2\\ 4 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -4 & -3\\ -2 & -1 \end{pmatrix} \end{array}.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s