Materi kelas XI, materi kelas XI semester I, peluang sma, Uncategorized

Peluang

A. Kaidah Pencacahan

Dalam sebuah percobaan ada banyak kemungkinan/peristiwa yang akan mungkin terjadi yang mana dapat ditentukan dengan:

A. 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia

A. 1. 1. Ruang Sampel (Ruang Contoh)

  • Ruang sampel adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin terjadi
  • Ruang sampel biasanya biasanya dinotasikan dengan S.
  • Anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.
  • Dalam teori himpunan adalah himpunan semesta, sedangkan titik sampel adalah anggota-anggota dari himpunan semesta tersebut.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

\begin{tabular}{l}\\ Tentukanlah ruang sampel dan banyaknya anggota untuk percobaan\\ \begin{tabular}{ll}\\ a.&mengundi sekeping mata uang sebanyak 3 kali\\ b.&mengelempar 2 buah dadu sekaligus \end{tabular} \end{tabular}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}&\textrm{Jika S adalah ruang sampel dan}\: \: \textrm{n(S)}\: \: \textrm{adalah banyak anggota ruang sampel, maka} \end{aligned}\\\\ \begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{a}&\textrm{b}\\\hline \left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=AAA\\ \\ G&=AAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=AGA\\ \\ G&=AGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A\left\{\begin{matrix} A&=GAA\\ \\ G&=GAG \end{matrix}\right.\\ \\ G\left\{\begin{matrix} A&=GGA\\ \\ G&=GGG \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. &\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \setminus&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\\hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\\hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\\hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\\hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\\hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\\hline \end{array} \\\hline \textrm{n}(\textrm{S})=8&\textrm{n}(\textrm{S})=36\\\hline \end{array}.

A. 1. 2. Aturan Perkalian dan Kaidah Penjumlahan

\begin{tabular}{|p{5,0cm}|p{5.5cm}|p{5.0cm}|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Teknik menghitung}}\\\hline Kaidah Perkalian&Kaidah Penjumlah&Gabungan Keduanya\\\hline Jika percobaan 1 mendapat hasil m, percobaan 2 mendapatkan hasil n, maka jika percobaan 1 \textbf{dan} 2 dilakukan, maka akan mendapatkan hasil m x n kemungkinan&Jika percobaan 1 mendapat hasil m, percobaan 2 mendapatkan hasil n, maka jika hanya satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 \textbf{atau} percobaan 2), maka akan mendapatkan hasil m + n kemungkinan&Beberapa persoalan terkadang tidak dapat diselesaikan dengan satu kaidah saja, tetapi harus dengan menggunakan dua kaidah sekaligus\\\hline \end{tabular}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

\begin{tabular}{lp{15,0cm}}\\ 1.&Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu orang wakil siswa dan satu orang wakil siswi?\\\\ &Jawab:\\\\ &ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika 2 orang wakil harus dipilih yang terdiri dari 1 siswa \textbf{dan} 1 siswi, maka jumlah kemungkinan perwakilan tersebut adalah yang dapat dipilih adalah 5 x 4 = 20 cara\end{tabular}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Perhatikan kembali contoh tentang ruang sampel sebelumnya. Pada contoh tersebut} \\ &\textrm{terdapat 2 macam ilustrasi masing-masing tentang mengundi uang logam sebanyak 3 kali} \\ &\textrm{dan melempar dua buah dadu secara bersamaan adalah 2 contoh ilustrasi berkaitan } \\ &\textrm{dengan kaidah perkalian, karena}\\ \\ &\Rightarrow \textrm{pada pelemparan(undi) uang} =\\ &\: \quad \textrm{undi pertama \textbf{dan} undi ke-2 \textbf{dan} undi ke-3}=2\times 2\times 2=2^{3}=8\\ &\Rightarrow \textrm{pada pengundian dua buah dadu} = \textrm{dadu}\: 1\: \textbf{dan}\: \textrm{dadu ke}-2=6\times 6=6^{2}=36\end{array}.

\begin{tabular}{lp{15,0cm}}\\ 3.&Sekumpulan pelajar terdiri dari 5 anak putra dan 4 anak putri. Tentukanlah jumlah cara memilih satu orang wakil pelajar tersebut(tidak masalah putra atau putri)?\\\\ &Jawab:\\\\ &ada 5 kemungkinan memilih seorang wakil siswa dan ada 4 kemungkinan memilih wakil siswi. Jika hanya 1 orang wakil yang harus dipilih (tidak peduli putra \textbf{atau} putri), maka banyak cara memilih adalah 5 + 4 = 9 cara\end{tabular}.

\begin{tabular}{lp{15,0cm}}\\ 4.&Sebuah bilangan dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Jika pengulangan tidak diperbolehkan, tentukan banyaknya bilangan\\ &a.\quad yang terdiri dari 1 angka dan kurang dari 5\\ &b.\quad yang terdiri dari 2 angka dan kurang dari 50\\ &c.\quad yang terdiri dari 3 angka dan kurang dari 500\\ &d.\quad yang terdiri dari 4 angka dan kurang dari 5000\\ &e.\quad yang terdiri dari 5 angka dan kurang dari 50000\\ &f.\quad yang terdiri dari 6 angka dan kurang dari 500000 dan habis dibagi 5\\\\ &Jawab:\\\\ &a.\quad jelas ada 4 angka yang memenuhi, yaitu: 1, 2, 3, dan 4\\ &b.\quad 2 angka misalkan AB, posisi A dapat diisi dengan 4 cara dan posisi B dapat\\ &\qquad diisi dengan 8 cara, karena setelah diisikan ke A angka tinggal 8 buah dan\\ &\qquad semuanya memiliki kesempatan yang sama untuk diisikan ke B.\\ &\qquad sehingga AB dapat diisi dengan 4 x 8 = 32 cara.\\ &c.\quad 3 angka misalkan ABC, posisi A dapat diisi dengan 4 cara, posisi B dapat\\ &\qquad diisi dengan 8 cara, dan posisi C dapat diisi dengan 7 cara.\\ &\qquad sehingga ABC dapat diisi dengan 4 x 8 x 7 = 224 cara.\\ &\\ &Untuk jawaban d, e, dan f silahkan dicoba sendiri sebagai latihan\end{tabular}.

A. 2. Permutasi dan Kombinasi

Faktorial

Secara definisi:

Untuk setiap bilangan asli n, maka n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x 3 x 2 x 1.

Sedangkan notasi n! dibaca n faktorial. Termasuk di sini dedefinisikan pula 1! = 1  dan  0! = 1.

Untuk keterangan permutasi dan kombinasi sebagai berikut:

\begin{array}{|l|l|l|}\hline &\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Model}}\\\cline{2-3} \raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{Istilah} &\textrm{Permutasi}&\textrm{Kombinasi}\\\hline \textrm{Definisi}&\begin{aligned}&\textrm{Permutasi r unsur dari n unsur adalah}\\ &\textrm{banyaknya kemungkinan urutan r buah}\\ &\textrm{unsur yang dipilih dari n unsur}\\ &\textrm{yang tersedia}.\: \textrm{Tiap unsur berbeda dan}\\ & r\leq n \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Kombinasi r unsur dan n unsur adalah}\\ &\textrm{banyaknya kemungkinan tidak terurut}\\ &\textrm{dalam pemilihan r unsur yang diambil}\\ &\textrm{dari n unsur yang tersedia}.\: \textrm{Tiap unsur}\\ &\textrm{berbeda dan}\: \: r\leq n \end{aligned}\\\hline \textrm{Tipe}&\textrm{Bentuk khusus kaidah perkalian}&\textrm{Bentuk khusus permutasi}\\\hline \textrm{Notasi}&_{n}P_{r},\: P_{n}^{r},\: \textrm{atau}\: \: P(n,k)&_{n}C_{r},\: C_{r}^{n},\: \binom{n}{r},\: \textrm{atau}\: \: C(n,r)\\\hline \textrm{Rumus}&P(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}&\binom{n}{r}=C(n,r)=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}\\\hline \end{array}.

Lanjutan,

\begin{array}{|l|c|c|c|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Permutasi}}&\multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Kombinasi}}\\\hline \textrm{Unsur yang sama}&\textrm{Siklis}&\textrm{Lintasan}&\textrm{dengan pengulangan}&\textrm{Binom Newton}\\ &&&\textrm{(Pengayaan)}&\\\hline \begin{aligned}&P(n;n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k})\\ &=\displaystyle \frac{P(n,n)}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!}\\ &=\displaystyle \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\begin{cases} \textrm{Siklis} & =(n-1)! \\\\ \textrm{Kalung} & =\displaystyle \frac{(n-1)!}{2} \end{cases}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ &\begin{array}{l|l|l|ll}\cline{2-3} &&&B(m+n)\\\cline{2-3} &&&\\\cline{2-3} &&&\\\cline{2-3} &&&\\\cline{2-3} O(0,0)&&&\\\cline{2-3} \end{array}\\\\ &\textrm{Panjang lintasannya}\\ &=m+n\\ &=\binom{m+n}{n}=\binom{m+n}{m}\\ \end{aligned}&\begin{aligned}&C(n+r-1,r)\\ &=C(n+r-1,n-1)\\ &\binom{n+r-1}{r}\\ &=\binom{n+r-1}{n-1} \end{aligned}&\begin{aligned}&(x+y)^{n}\\ &=\sum_{k=o}^{n}\binom{n}{r}x^{n-k}y^{k}\\\\ &\textrm{Koefisien untuk}\\ &x^{n-k}y^{k},\: \textrm{yaitu}\\ &\textrm{suku ke}-(k+1)\\ &\textrm{adalah}\: \binom{n}{r} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}.

\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah nilai}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad 3!&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}&\textrm{i}.\quad \displaystyle \frac{2!}{0!}+\frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}\\ \textrm{b}.\quad 5!&\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{10!}{6!}&\textrm{j}.\quad \displaystyle \frac{2!}{0!}\times \frac{3!}{1!}+\frac{4!}{2!}\\ \textrm{c}.\quad 0!+1!+2!+3!&\textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}&\textrm{k}.\quad \displaystyle \frac{3\times 4!}{3!(5!-5!)}\\ \textrm{d}.\quad (2!)!+(3!)!&\textrm{h}.\quad \displaystyle \frac{13!}{12!+12!}&\textrm{l}.\quad \displaystyle \frac{3!+5!+7!}{4!+6!}\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad 3!=3.2.1=6\\ \textrm{b}.\quad 5!=5.4.3.2.1=120\\ \begin{aligned}\textrm{c}.\quad 0!+1!+2!+3!&=1+1+2+6\\ &=10 \end{aligned}\\ \begin{aligned}\textrm{d}.\quad (2!)!+(3!)!&=2!+6!\\ &=2+720\\ &=722 \end{aligned}\\ \textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}=\frac{720}{24}=30\quad \textrm{atau}\quad \displaystyle \frac{6!}{4!}=\displaystyle \frac{6.5.\not{4}.\not{3}.\not{2}.\not{1}}{\not{4}.\not{3}.\not{2}.\not{1}}=6.5=30\\ \textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{10!}{6!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1}{6.5.4.3.2.1}=.... (\textrm{silahkan diselesaikan sendiri})\\ \textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{7!}{3!\times 4!}=\frac{7.6.5.4.3.2.1}{(3.2.1)\times (4.3.2.1)}=.... (\textrm{silahkan juga diselesaikan sendiri})\\ \vdots \\ (\textrm{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri}) \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Sederhanakanlah}\\ &\begin{array}{lll}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}&\textrm{e}.\quad \displaystyle \frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}-\frac{1}{(n-1)!}\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}&\textrm{f}.\quad \displaystyle \frac{(4n)!}{(4n+1)!}+\frac{(4n)!}{(4n-1)!}\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}&\textrm{g}.\quad \displaystyle \frac{1}{n}-\frac{n!}{(n-1).(n-2)!}\\ \textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n^{2}+3n+2)}&\textrm{h}.\quad 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!\end{array}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{array}{l}\\ \textrm{a}.\quad \displaystyle \frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n.(n-1)!}{(n-1)!}=n\\ \textrm{b}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{(n+1)!}=\frac{(n+2).(n+1)!}{(n+1)!}=n+2\\ \textrm{c}.\quad \displaystyle \frac{(2n)!}{(2n+1)!}=\frac{(2n)!}{(2n+1).(2n)!}=\frac{1}{2n+1}\\ \textrm{d}.\quad \displaystyle \frac{(n+2)!}{n^{2}+3n+2}=\frac{(n+2)!}{(n+2).(n+1)}=\frac{(n+2).(n+1).n!}{(n+2).(n+1)}=n!\\ \vdots \\ (\textrm{silahkan selanjutnya diselesaikan sendiri sebagai latihan})\\ \vdots \\ \begin{aligned}\textrm{h}.\quad 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!&=(2-1).1!+(3-1).2!+(4-1).3!+(5-1).4!+...+(n+1-1).n!\\ &=2.1!+3.2!+4.3!+5.4!+...+(n+1).n!-1!-2!-3!-4!-...-n!\\ &=2!+3!+4!+5!+...+(n+1)!-\left ( 1!+2!+3!+4!+...+n! \right )\\ &=(n+1)!-1 \end{aligned} \end{array} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Sederhanakanlah bentuk penjumlahan berikut}\\ &\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots +\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}\\\\ &\textrm{Jawab}:\\\\ &\begin{aligned}\textrm{Perhatikan}&\, \: \textrm{bahwa}\\ &\displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{3}{1+2+6}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}=\frac{2}{1\times 2\times 3}=\frac{2}{3!}=\frac{3-1}{3!}=\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}=\frac{3}{2!\times 3}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &\textrm{sehingga}\\ &\frac{3}{1!+2!+3!}=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\\ &\displaystyle \frac{4}{2!+3!+4!}=\cdots =\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\\ &\displaystyle \frac{5}{3!+4!+5!}=\cdots =\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\\ &\vdots \\ &\displaystyle \frac{100}{98!+99!+100!}=\cdots =\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\\ &---------------------------\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad =\frac{1}{2!}-\frac{1}{100!} \end{aligned} \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Jika di suatu kelas terdapat 4 orang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara}.\\ &\textrm{Tentukanlah banyak cara memilih 3 orang tersebut?} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab:}\\\\ \begin{aligned}&\textrm{Karena ada 4 orang, misal A, B, C, dan D yang akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi} \\ &\textrm{ketua, sekretaris, dan bendahara, maka kita tinggal buat permutasinya, yaitu}\\ &\textrm{Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara,} \\ &\textrm{dan bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. atau} \: \: P(4,3)=\displaystyle \frac{4!}{(4-3)!}=\frac{4!}{1!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{1}=24\: \: \textrm{cara}\end{aligned}\\ \textrm{Berikut ilustrasinya dengan diagram pohon}\.

\begin{cases} A&\begin{cases} B & \begin{cases} C &\rightarrow ABC\\ D & \rightarrow ABD \end{cases} \\ C & \begin{cases} B &\rightarrow ACB\\ D & \rightarrow ACD \end{cases} \\ D & \begin{cases} B &\rightarrow ADB \\ C &\rightarrow ADC \end{cases} \end{cases} \\ \\ B&\begin{cases} A & \begin{cases} C &\rightarrow BAC\\ D & \rightarrow BAD \end{cases} \\ C & \begin{cases} A &\rightarrow BCA\\ D & \rightarrow BCD \end{cases} \\ D & \begin{cases} A &\rightarrow BDA \\ C &\rightarrow BDC \end{cases} \end{cases} \\ \\ C&\begin{cases} A & \begin{cases} B &\rightarrow CAB\\ D & \rightarrow CAD \end{cases} \\ B & \begin{cases} A &\rightarrow CBA\\ D & \rightarrow CBD \end{cases} \\ D & \begin{cases} A &\rightarrow CDA \\ B &\rightarrow CDB \end{cases} \end{cases} \\ \\ D&\begin{cases} A & \begin{cases} B &\rightarrow DAB\\ C & \rightarrow DAC \end{cases} \\ B & \begin{cases} A &\rightarrow DBA\\ C & \rightarrow DBC \end{cases} \\ C & \begin{cases} A &\rightarrow DCA \\ B &\rightarrow DCB \end{cases} \end{cases} \end{cases}.

B. Peluang Kejadian

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \multicolumn{8}{|c|}{\textbf{Peluang}}\\\hline \textrm{Ruang}&\textrm{Peluang}&\textrm{Frekuensi}&\multicolumn{5}{|c|}{\textrm{Kejadian Majmuk}}\\\cline{4-8} \textrm{Sampel}&\textrm{Suatu}&\textrm{Harapan}&\textrm{Re}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Kaidah Penjumlahan}}&\multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Kaidah Perkalian}}\\\cline{5-8} & \textrm{Kejadian}&&\textrm{la}&\textrm{lepas}&\textrm{tidak}&\textrm{bebas}&\textrm{bersyarat}\\\cline{1-3}\cline{5-8} \textrm{Lihat}&&&\textrm{si}&A\cap B=\left \{ \: \right \}&A\cap B\neq \left \{ \: \right \}&&\\\cline{5-6} \textrm{materi}&0\leq P(A)\leq 1&F_{h}=n\times P(A)&\textrm{dua}&P(A\cup B)=&P(A\cup B)=&P(A\cap B)=&P(A\cap B)=\\ \textrm{sebelumnya}&&&\textbf{kjd}&p(A)+p(B)&P(A)+P(B)-P(A\cap B)&P(A)\times P(B)&P(A)\times P(B/A)\\\hline \end{array}.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s