materi kelas XII, materi kelas XII semester I, Prolin, Uncategorized

Program Linear

A. Pengertian Program Linear

Program Linear adalah suatu metode atau progaram untuk menentukan nilai optimal (maksimum atau minimum) dari beberapa pertidaksamaan linear yang diketahui.

Dalam program linear terdapat dua bagian yaitu fungsi kendala (batasan-batasan berupa pertidaksamaan) dan fungsi Objektif (sasaran / tujuan).

B. Bentuk Umum

\begin{array}{|lllll|}\hline \textrm{Bentuk Umum:}&&&&\\ &&&\begin{matrix} 1.\quad ax+by\leq c,\\ 2.\quad ax+by\geq c, \end{matrix}&\textrm{dengan a,b,c}\in \mathbb{R}\\\hline \end{array}.

C. Langkah-langkah menyelesaikan Program Linear 

  • Membuat model matematika(menerjemahkan persoalan ke dalam bahasa matematika)
  • Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear (dua variabel) dengan mengarsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan (tulisan yang bergaris miring terserah selera pembaca)
  • menentukan titik-titik sudut (Verteks / titik ekstrem )
  • Menentukan penyelesaian Optimasi dari fungsi objektif (kadang ditulis sebagai fungsi sasaran / tujuan) f(x,y)=ax+by baik dengan  metode uji titik sudut (Verteks / titik ekstrem) atau garis selidik.

D. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel

D.1. Persamaan garis lurus

Perhatikan dua gambar berikut

287                           288

\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Gambar (I)}&\textrm{Gambar (II)}\\\hline &\\ &\displaystyle \frac{y-b}{n-b}=\displaystyle \frac{x-a}{m-a}\\ &\\ ax+by=ab&\textrm{atau}\\ &\\ &y=\displaystyle \frac{n-b}{m-a}\left ( x-a \right )+b\\ &\\\hline \end{array}.

D.2. Menentukan daerah pertidaksamaan

Perhatikanlah ilustrasi berikut

289

Agak lebih lengkapnya perhatikanlah ilustrasi berikut:

312

D.3. Menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif

Perhatikan ilustrasi berikut

290

misalkan OABC berarsir adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan dengan  O(0,0), A(a,0) , B(0,b), dan C(m,n) , maka nilai dari fungsi objektif f(x,y)=px+qy adalah:

\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{(x,y)\rightarrow f(x,y)=px+qy}\\\hline \textbf{Titik Sudut(Vertek)}&\textbf{Hasil}\\\hline O(0,0)&p(0)+q(0)=0\\\hline A(a,o)&p(a)+q(0)=pa\\\hline B(0,b)&p(0)+q(b)=qb\\\hline C(m,n)&p(m)+q(n)\\\hline \end{array}.

E. Model Matematika

Rumusan secara matematis dari hasil penafsiran masalah program linear.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Contoh Soal}}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis dari grafik berikut}\\ \end{array}\\ \begin{array}{lllll}\\ .\quad\quad&a.&2x+3y=6&i.&4x+5y=20\\ &b.&2x-3y=-6&j.&4x-5y=-20\\ &c.&-2x-3y=6&k.&-4x-5y=20\\ &d.&-2x+3y=-6&l.&-4x+5y=-20\\\cline{2-5}\\ &e.&-2x-3y=-6&m.&-4x-5y=-20\\ &f.&-2x+3y=6&n.&-4x+5y=20\\ &g.&2x+3y=-6&o.&4x+5y=-20\\ &h.&2x-3y=6&p.&4x-5y=20 \end{array}.

Jawab:

\begin{array}{|llllllll|}\hline \multicolumn{8}{|c|}{\textbf{Menentukan titik potong pada sumbu X dan sumbu Y}}\\\hline a.&\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{2x+3y=6}\\\hline x&0&3\\\hline y&2&0\\\hline (x,y)&(0,2)&(3,0)\\\hline \end{array}&b.&\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{2x-3y=-6}\\\hline x&0&-3\\\hline y&2&0\\\hline (x,y)&(0,2)&(-3,0)\\\hline \end{array}&c.&\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{-2x-3y=6}\\\hline x&0&-3\\\hline y&-2&0\\\hline (x,y)&(0,-2)&(-3,0)\\\hline \end{array}&d.&\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{-2x+3y=-6}\\\hline x&0&3\\\hline y&-2&0\\\hline (x,y)&(0.-2)&(3,0)\\\hline \end{array}\\\hline e.&\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{-2x-3y=-6}\\\hline x&0&3\\\hline y&2&0\\\hline (x,y)&(0,2)&(3,0)\\\hline \end{array}&f.&\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{-2x+3y=6}\\\hline x&0&-3\\\hline y&2&0\\\hline (x,y)&(0,2)&(-3,0)\\\hline \end{array}&g.&\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{2x+3y=-6}\\\hline x&0&-3\\\hline y&-2&0\\\hline (x,y)&(0,-2)&(-3,0)\\\hline \end{array}&h.&\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{2x-3y=6}\\\hline x&0&3\\\hline y&-2&0\\\hline (x,y)&(0.-2)&(3,0)\\\hline \end{array}\\\hline\end{array}.

Perhatikanlah ilustrasi berikut untuk jawaban a, b, c, dan d

298

Perhatikan pula bahwa jawaban e, f, g, dan h adalah  sama dengan jawaban a, b, c, dan d.

untuk jawaban i,j,k,l,m,n,o, dan p silahkan dibahas sendiri sebagai latihan.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Tentukanlah daerah penyelesaian dari}\\ \end{array}\\ \begin{array}{llllllllll}\\ .\quad\quad&a.&x>0&i.&y> o&m.&x\leq 4&q.&2x-3y\geq -6\\ &b.&x\geq 0&j.&y\geq 0&n.&y\geq -5&r.&2x-3y\leq -6\\ &c.&x< 0&k.&y< 0&o.&2x+3y\geq 6&s.&2< x\leq 5\\ &d.&x\leq 0&l.&y\leq 0 &p.&2x+3y\leq 6&t.&2< y\leq 5\end{array}.

Jawab:

a. x>0.

299

b. x\geq 0.

300

0 . 2x+3y\geq 6.

301

q. 2x-3y\geq -6.

302

s. 2< x\leq 5.

303

Untuk jawaban yang belum di lukiskan, silahkan lukiskan sendiri sebagai latihan.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Lukislah daerah penyelesaian dari}\\ \end{array}\\ \begin{array}{llllllllll}\\ .\quad\quad&a.&\begin{cases} x \geq 3 \\ x\leq 5 \\ y\leq 4 \\ y\geq 2 \end{cases}&b.&\begin{cases} x\geq 2 \\ x\leq 5 \\ y\leq x \\ y\geq 1 \end{cases}&c.&\begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 2x+4y\leq 8 \\ x+4y\leq 5 \end{cases}&d.&\begin{cases} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 3x+y\leq 23 \\ x+4y\leq 26 \\ x\leq 7 \end{cases}\\\end{array}.

Jawab:

Untuk jawaban soal no. 3 Himpunan penyelesaian ditunjukkan dengan daerah yang tidak diarsir.

a. 304

c. 305

Untuk jawaban yang belum di lukiskan, silahkan lukiskan sendiri sebagai latihan.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif}\: \: f(x,y)=2x+3y\\ &\textrm{dengan fungsi kendala (batasan-batasan) :}\: \: \begin{cases} x+2y\geq 4 \\ x+y\leq 4 \\ x\geq 2 \\ y\geq 1 \end{cases} \end{array}.

Jawab:

Sebagai ilustrasi dari fungsi kendala adalah sebagai berikut dengan daerah yang tak diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian

306a

Langkah berikutnya kita tentukan nilai optimumnya dari titik-titik pojok yang terjadi sebagai berikut;

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{f(x,y)=2x+3y}}\\\hline \textrm{Titik Vertek}&\textrm{Nilai Optimum}&\textrm{Keterangan}\\\hline A(2,1)&f(A)=f(2,1)=2(2)+3(1)=7&\textbf{Minimum}\\\hline B(3,1)&f(B)=f(3,1)=2(3)+3(1)=9&\\\hline C(2,2)&f(C)=f(2,2)=2(2)+3(2)=10&\textbf{Maksimum}\\\hline \end{array}.

\begin{tabular}{lp{20.0cm}}\\ \fbox{5}.&Seorang penjahit memiliki persediaan 16 m kain sutera, 15 m katun, dan 11 m rayon yang hendak dibuat dua buah model dengan rincian sebagai berikut.\\ &Model A memerlukan 2 m sutera, 1 m katon, dan 1 m rayon per unit.\\ &Model B memerlukan 1 m sutera, 3 m katun, dan 2 m rayon perunit.\\ &Jika keuntungan pakaian model A adalah Rp3.000,00 per unitnya dan model B akan memberikan keuntungan per unitnya Rp5.000,00 , maka tentukanlah berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat didapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya! \end{tabular}.

Jawab:

Persoalan tersebut di atas dapat ditampilkan sebagimana tabel berikut

\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \textrm{Bahan Kain}&\textrm{Model A} &\textrm{Model B}&\textrm{Tersedia}\\\hline \textrm{Sutera}&2&1&16\\\hline \textrm{Katun}&1&3&15\\\hline \textrm{Rayon}&1&2&11\\\hline \textrm{Keuntungan}&3.000&5.000&\\\hline \end{array}.

\begin{aligned}\textrm{dengan memisalkan model A sebagai variabel x dan model B sebagai variabel y. Selanjutnya kita buatkan model matematikanya, yaitu:} \end{aligned}                             .

\begin{array}{|c|c|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Aplikasi Program Linear}}\\\hline \textbf{Permasalahan}&\textbf{Fungsi Tujuan}&\textbf{Kendala-Kendala}\\\hline \textrm{Menentukan keuntungan sebesar-besarnya}&f(x,y)=3000x+5000y&\textcircled{1}\quad 2x+y\leq 16\\ &&\textcircled{2}\quad x+3y\leq 15\\ &&\textcircled{3}\quad x+2y\leq 11\\ &&\textcircled{4}\quad x\geq 0\\ &&\textcircled{5}\quad y\geq 0\\\hline \end{array}.

Langkah selanjutnya kita menentukan titik verteks/ titik ekstrem  (dengan bantuan ilustrasi gambar dengan daerah yang tak diarsir merupakan daerah himpunan penyelesaian) sebagai berikut.

307a

Dengan bantuan ilustrasi gambar kita mendapatkan koordinat titik-titik pojok (verteks / ektrem) yaitu A(8,0), B(7,2), C(3,4), dan D(0,5) khusus titik (0,0) tidak diperlukan karena yang diinginkan adalah nilai maksimal (keuntungan terbesar)

\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{f(x,y) = 3000x+5000y}}\\\hline \textrm{Titik Vertek}&\textrm{Nilai Optimum}&\textrm{Keterangan}\\\hline A(8,0)&f(A)=f(8,0)=3000(8)+5000(0)=24000&\textbf{Minimum}\\\hline B(7,2)&f(B)=f(7,2)=3000(7)+5000(2)=31000&\textbf{Maksimum}\\\hline C(3,4)&f(C)=f(3,4)=3000(3)+5000(4)=29000&\\\hline D(0,5)&f(D)=f(0,5)=3000(0)+5000(5)=25000&\\\hline \end{array}.

Jadi, supaya penjahit medapat keuntungan sebesar-besarnya (Rp31.000,00), maka ia harus membuat 7 unit model A dan 2 unit model B.

\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{Latihan Soal}}.

  1. Selesaikanlah Contoh Soal No.1  yang belum dikerjakan.
  2. Selesaikanlah Contoh Soal No.2  yang belum dikerjakan.
  3. Selesaikanlah Contoh Soal No.3  yang belum dikerjakan.
  4. Tentukanlah nilai maksimum dari fungsi objektif f(x,y) = 100x + 125y jika memiliki kendala-kendala 75x + 150y  \leq  2250 , 75x + 50 y \leq 1750 , x \geq 0, dan y \geq 0.
  5. Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis pakaian seragam (anggap saja jenis seragam A dan seragam B). Untuk seragam A diperlukan waktu 5 menit proses penjahitan, 3 menit proses penyetrikaan, dan 3 menit proses pembungkusan sedang seragam jenis B dibutuhkan 8 menit proses penjahitan, 12 menit penyetrikaan serta 3 menit proses pembungkusan. Diketahui keuntungan seragam jenis A adalah Rp700,00 dan seragam B Rp1.200,00 dan waktu yang dibutuhkan dalam proses penjahitan tidak boleh lebih dari 480 menit, proses penyetrikaan tidak boleh melewati 600 menit serta pembungkusan tidak bleh melebihi 450 menit, maka

\begin{tabular}{llp{16.0cm}}\\ .\quad &a.&Sajikanlah permasalahan tersebut ke dalam sebuah tabel dengan terlebih dahulu menentukan variabel-variabelnya.\\ &b.&Tulislah kendala-kendala dari permasalahan tersebut.\\ &c.&Tulis pula fungsi objektif/sasarannya.\\ &d.&Tentukanlah keuntungan maksimum hariannya.\\ &e.&Tentukan pula banyaknya seragam dari masing-masing jenis yang diproduksi sehingga mendapatkan keuntungan sebesar-besarnya. \end{tabular}.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s