Materi kelas XI, materi kelas XI semester I, statistika SMA, Uncategorized

Statistika

STATISTIKA

Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, mengolah dan menganalisis data, menarik kesimpulan, dan menafsirkan parameter.
Kegiatan Statistika meliputi:

1. Mengumpulkan data
2. Menyusun data
3. Menyajikan data
4. Mengolah dan Menganalisis data
5. Menarik kesimpulan
6. Menafsirkan

1. Pengertian Datum dan Data

Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.
Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.

2. Pengertian Populasi dan Sampel 
Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan rata-rata siswa SMA di Kabupaten Tegal. Kemudian, ia kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal disebut populasi. Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Tegal yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan, sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan agar sampel dapat mewakili populasi.

3. Pengumpulan Data

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu
sebagai berikut.
1)  Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau
bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu
data cacahan dan data ukuran.
a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh
dengan cara membilang. Misalnya, data tentang
banyak anak dalam keluarga.
b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh
dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang
ukuran tinggi badan murid.
2)  Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan.
Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas
objek. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan,
yaitu baik, sedang, dan kurang.
Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan
wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

Menyajikan data dalam bentuk diagram
1. Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.
Contoh:

Berikut simulasi diagram garis, kamu dapat mengubah-ubah diagram garis yang ada:
2. Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah Berikut simulasi diagram batang, kamu dapat mengubah-ubah diagram batang yang ada
3. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian-bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran. Perhatikan contoh berikut ini. Berikut simulasi diagram lingkaran, kamu dapat mengubah-ubah diagram lingkaran yang ada

Penyajian data dalam bentuk tabel Distribusi Histogram, Poligon, dan Ogive
 1. Distribusi Frekuensi Tunggal
Data tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit.

2. Distribusi Frekuensi Kelompok 
Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

  • Langkah ke-1 menentukan Jangkauan (J) = Xmax – Xmin
  • Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus “Sturgess” yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan ke bawah.
  • Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:

J
I = ––––
K

  • Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.
  • Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.

3. Histogram 
Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit.
4. Poligon 
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.
Berikut simulasi histogram dan poligon
5. Distribusi Frekuensi Kumulatif 
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

6. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari disebut poligon kumulatif. Poligon kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal

b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi


Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i

c) Rumus Rataan Hitung Gabungan

Contoh soal :
1.) Seorang peneliti mencatat banyak bayi yang lahir selama setahun di 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut.

136 140 220 193 130 158 242 127 184 213

200 131 111 160 217 281 242 242 281 192

Hitunglah rataan hitung (mean) data tersebut.

Penyelesaian :

rataan hitung bayi lahir

Perhatikan data berikut.

nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9
frekuensi 3 5 12 17 14 6 3

2.) Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata dikurangi 1. Dari data di atas, yang lulus adalah :

Penyelesaian :

nilai rata-rata datum frekuensi

Siswa dinyatakan lulus jika nilainya lebih dari :
6,07 – 1 = 5,07.
Jadi, jumlah yang lulus adalah :
= 17 + 14 + 6 + 3 = 40 orang.

Rumus Modus

a. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:


Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

Contoh soal :

1.)Tentukan modus dari data berikut ini.
a.  45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80

b.  50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90

c.  35, 42, 48, 50, 52, 55, 60

Pembahasan :

a.  Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga kali muncul), modusnya adalah 70.

b.  Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu dua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidak tunggal).

c.  Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus

2.) Tabel 3. menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71 siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari data tersebut.

Interval Kelas Frekuensi
40 – 44 2
45 – 49 2
50 – 54 6
55 – 59 8
60 – 64 10
65 – 69 11
75 – 79 6
80 – 84 4
85 – 89 4
90 – 94 3

Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar (frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus.
i = 44,5 – 39,5 = 5

L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 (tepi bawah kelas)

d1 = 15 – 11 = 4

d2 = 15 – 6 = 9
Jadi,

perhitungan modus
Rumus Median
a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.


b) Data yang Dikelompokkan


Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data Contoh soal

1.)Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data berikut.

67 86 77 92 75 70
63 79 89 72 83 74
75 103 81 95 72 63
66 78 88 87 85 67
72 96 78 93 82 71

Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut.

No. Unit Data (xi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nilai Data 63 63 66 67 67 70 71 72 72 72

 

No. Unit Data (xi) 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nilai Data 74 75 75 77 78 78 79 81 82 83

 

No. Unit Data (xi) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nilai Data 85 86 87 88 89 92 93 95 96 103
kuartil atas bawah median

2.)Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada Tabel. 4.

Interval Kelas Frekuensi
40 – 44 2
45 – 49 2
50 – 54 6
55 – 59 8
60 – 64 10
65 – 69 11
70 – 74 15
75 – 79 6
80 – 84 4
85 – 89 4
90 – 94 3

Kunci Jawaban :

Kelas Interval Frekuensi Frekuensi Kumulatif
40 – 44 2 2
45 – 49 2 4
50 – 54 6 10
Q 55 – 59 8 18
60 – 64 10 28
Q 65 – 69 11 39
Q3 → 70 – 74 15 54
75 – 79 6 60
80 – 84 4 64
85 – 89 4 68
90 – 94 3 71
kuartil atas data kelompok

Jadi, kelas Q1 ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)

median data kelompok

Jadi, kelas Q2 ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)

kuartil bawah data kelompok

Jadi, kelas Q3 ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74)
Dengan demikian, Q1 , Q2 , Q3 dapat ditentukan sebagai berikut.

perhitungan kuartil atas bawah median data kelompok
Rumus Jangkauan ( J )Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

1.)Tentukan Jangkauan!

Interval Kelas Frekuensi
40 – 44 2
45 – 49 2
50 – 54 6
55 – 59 8
60 – 64 10
65 – 69 11
70 – 74 15
75 – 79 6
80 – 84 4
85 – 89 4
90 – 94 3

Penyelesaian :
Xmax = 92
Xmin = 42

92-42 = 50

5. Rumus Simpangan Quartil 

Contoh Soal :

1.) Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data berikut.

20     35     50     45     30     30     25     40     45     30     35

Penyelesaian:

Ingat hal pertama yang Anda lakukan adalah mengurutkan data tersebut untuk mencari kuartil atas dan kuartil bawahnya, yakni sebagai berikut.

Jadi, kuartil bawah (Q1) dan kuartil atas (Q3) dari data tersebut yakni 30 dan

QR = Q3 – Q1

QR = 45 – 30

QR = 15

Sedangkan simpangan kuartilnya yakni:

Qd = ½QR

Qd = ½.15

Qd = 7,5

Jadi, jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data tersebut adalah 15 dan 7,5.

Rumus Simpangan Baku

Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x1, x2, …, xn. Dari data tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang ditentukan oleh rumus berikut.

simpangan baku

Contoh Soal 1 :

Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut:

165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.

Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.

Kunci Jawaban :

menghitung simpangan baku

Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.
Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan, dapat dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing data mempunyai frekuensi f1, f2, …, fn. Simpangan baku (S) dari data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus :

simpangan baku data kelompok

Contoh Soal 2 :
Hitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswa kelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel 1.

Jawaban :

Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh µ = 65,7.

xi fi xi – µ (xi – µ)2 Σfi (xi – µ)2
42 3 –23,7 561,69 1.685,07
47 4 –18,7 349,69 1.398,76
52 6 –13,7 187,69 1.126,14
57 8 – 8,7 75,69 605,52
62 10 –3,7 13,69 136,9
67 11 1,3 1,69 18,59
72 15 6,3 39,69 595,35
77 6 11,3 127,69 766,14
82 4 16,3 265,69 1.062,76
87 2 21,3 453,69 907,38
92 2 26,3 691,69 1.383,38
Σf= 60 Σfi (xi – µ)= 9.685,99

Jadi, simpangan bakunya σ :

simpangan baku sampel

Rumus Simpangan Rata-Rata

Contoh Soal 1 :
Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut :

12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11

Pembahasan :

simpangan rata-rata dari data kuantitatif

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.

Coba Anda tentukan simpangan rata-rata tersebut dengan menggunakan kalkulator. Apakah hasilnya sama?
Untuk sekumpulan data yang dinyatakan oleh x1, x2, …, xn dan masing-masing nilai data tersebut mempunyai frekuensi f1 , f2 , …, fn diperoleh nilai simpangan rata-rata (SR) dengan menggunakan rumus:

simpangan rata-rata data kelompok

Contoh Soal 2 :
Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.

Tabel 1. Nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka

Interval Kelas Frekuensi
40 – 44 3
45 – 49 4
50 – 54 6
55 – 59 8
60 – 64 10
65 – 69 11
70 – 74 15
75 – 79 6
80 – 84 4
85 – 89 2
90 – 94 2

Penyelesaian :

Dari tabel tersebut, diperoleh  = 65,7 (dibulatkan).

Kelas

Interval

Nilai Tengah (xi) fi |x – x| fi |x – x|
40 – 44 42 3 23,7 71,1
45 – 49 47 4 18,7 74,8
50 – 54 52 6 13,7 82,2
55 – 59 57 8 8,7 69,6
60 – 64 62 10 3,7 37
65 – 69 67 11 1,3 14,3
70 – 74 72 15 6,3 94,5
75 – 79 77 6 11,3 67,8
80 – 84 82 4 16,3 65,2
85 – 89 87 2 21,3 42,6
90 – 94 92 2 26,3 52,6
Σf= 71 Σfi |x – x| = 671,7

Jadi, simpangan rata-rata (SR) = 671,7 / 71 = 9,46.

Rumus Ragam

Contoh soal :

1.) Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut:

165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.

Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.

Kunci Jawaban :

menghitung simpangan baku

v = S2 = (5,83)2 = 33,99.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s